Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Examensaufgabe

Examensaufgabe

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Cerry aktiv_icon

10:15 Uhr, 07.01.2019

Hey ihr Lieben, bräuchte unbedingt Hilfe bei einer tollen Aufgabe.. keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll..

Aufgabe:

f' (x) = f (x)

(1 +

cosx/sinx) mit dem anfangswert

f (\frac{π}{2}) = e \frac{π}{2}

Und ich soll den

lim

für

x \to π

von

f (x)

berechnen...

Meine Frage an euch..
Ich komme ums verrecken nicht auf

f (x)

Könnt ihr mir da bitte helfen:-)

ermanus aktiv_icon

10:46 Uhr, 07.01.2019

Hallo,
die DGL

y ʹ = y (1 + \cot (x))

kannst du mit Trennung der Variablen leicht lösen.
Gruß ermanus

Cerry aktiv_icon

10:58 Uhr, 07.01.2019

Hi ermanus,

Ja ich hab das auch so versucht.. aber ich bekomm für mein

f (x) = e^{x}

× sinx raus.. und das kann ja nicht sein wenn ich das dann ableiten kommt nicht das von der Aufgabenstellung raus..

Weisst wie ich mein?

ermanus aktiv_icon

11:10 Uhr, 07.01.2019

f (x) = e^{x} \cdot ∣ \sin (x) ∣

ist richtig. Wie ist denn deine Ableitung von

e^{x} \sin (x)

Cerry aktiv_icon

11:14 Uhr, 07.01.2019

f' (x) = e^{x}

× (cosx

+

sinx)

Oh mein gott das stimmt hahahaha

Ok nächste Frage..

Wenn ich jetzt den

lim x \to π

laufen lasse.. bekomme ich doch für

e^{x}

ein Wert aber für sinx 0 raus also insgesamt läuft er gegen 0 oder?

ermanus aktiv_icon

11:18 Uhr, 07.01.2019

Ja, das sehe ich genau so.
Dass man (eigentlich) formal den Grenzwert nehmen muss,
liegt daran, dass das Richtungsfeld der DGL in

x = π

nicht
definiert ist: der

\cot (x)

hat dort einen Pol.
Aber der Grenzwert von

f

ist in unserem Falle einfach der Funktionswert an der
Stelle

x = π

, also

= 0

Cerry aktiv_icon

11:32 Uhr, 07.01.2019

Super ich danke dir. Ich war mir nur nicht sicher...

Naja und wenn du schon in der Materie bist, :-)
Also wenn ich ja die variable trenne.. sprich

a (x) = 1 + cot x

mache.. ist dann der def Bereich von

a :) 0, \frac{3}{2} π (

Und von der stammfunktion

A : R \to R

mit

A (x) = x + ln

sinx

Also damit jetzt auch die definitionsmengen stimmen.. oder was hättest du da gesagt?

ermanus aktiv_icon

11:35 Uhr, 07.01.2019

Ich würde sagen

] 0, π [

, also das offene Intervall der echt positiven Halbwelle von

\sin (x)

.
Den Definitionsbereich von

A

sollte man eher auch mit

] 0, π [

angeben.

Cerry aktiv_icon

11:41 Uhr, 07.01.2019

Für beide? Also a und A? Oder A von

R \to R

? Und a eben von

] 0, π [

ermanus aktiv_icon

11:48 Uhr, 07.01.2019

Ich würde für beide nur das Intervall angeben,
z.B. auch wegen

\ln (∣ \sin (x) ∣)

. Diese Funktion ist in

π

nicht differenzierbar. Wenn nach einer Lösung der DGL gesucht wird,
ist diese ja nur soweit festgelegt, wie der "Gültigkeitsbereich" der DGL
sich erstreckt. Die Stelle

x = π

gehört nicht mehr zum Definitionsbereich
der Lösung, wohl aber zu einer stetigen Fortsetzung derselben, daher schreibt man

lim_{x \to π} f (x)

Cerry aktiv_icon

11:57 Uhr, 07.01.2019

Mega danke dir :-)

Hoffe mal, dass das die gewünschte Lösung ist :-)

1454264

1454249

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?