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Existenz der Inversen zeigen o. widerlegen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

sarah0809 aktiv_icon

16:34 Uhr, 19.11.2017

Ich habe ein Monoid mit einer bestimmten Multiplikation gegeben. Nun muss ich zeigen, ob diese ein Körper ist oder nicht. Damit ist wohl gemeint, dass ich zeigen oder widerlegen muss, ob es eine multiplikative Inverse existiert.

Multiplikation gegeben durch :

ab=

(a 1 b 1 + a 2 b 3, a 1 b 2 + a 2 b 4, a 3 b 1 + a 4 b 3, a 3 b 2 + a 4 b 4)

für

a, b

Element

Z^{4}

.

Existenz der Inverse:

Für

a, b

gilt mit

b = a^{- 1} :

a \cdot b = b \cdot a = 1

.

Wie soll dieser Beweis formal aufgeschrieben werden ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

16:37 Uhr, 19.11.2017

Wenn das ein Monoid ist, soll es auch das neutrale Element geben, was ist es?

sarah0809 aktiv_icon

17:02 Uhr, 19.11.2017

Das neutrale Element ist die 1. Da die Verknüpfung auch eine "Multiplikation" ist.

ledum aktiv_icon

17:04 Uhr, 19.11.2017

Hallo
wie sieht denn die

1 \in ℤ^{4}

aus?
Gruß ledum

sarah0809 aktiv_icon

17:07 Uhr, 19.11.2017

Ich habe das neutrale Element (die

1)

damit bewiesen, indem ich 1 wie bei der Verknüpfung (siehe oben) ala a eingesetzt habe und dann gezeigt habe, dass diese zurückgeführt werden kann.

DrBoogie aktiv_icon

23:34 Uhr, 19.11.2017

Hallo? In

ℤ^{4}

gibt't keine

1

als Zahl, da liegen keine Zahlen, sondern Vektoren oder Tupeln.
Wovon sprichst Du überhaupt?

asdfasdfasdf aktiv_icon

15:33 Uhr, 20.11.2017

Die 1 ist

(1, 0, 0, 1),

denn

a (1, 0, 0, 1) = (1, 0, 0, 1) a = a

. Ich bin auch interessiert an dem inversen Element. Kann mir jemand weiterhelfen? Gleiche Aufgabe wie OP.

sarah0809 aktiv_icon

18:59 Uhr, 20.11.2017

Ja, da hast du recht, hätte ich wohl genauer erläutern sollen, was ich genau mit 1 meine.
Das neutrale Element ist mir klar. Meine Frage ist nun, ob das Monoid auch eine Gruppe ist. Dafür müsste ich zeigen, dass jedes Element in dieser Menge invertiertbar ist. Ich weiß aber nicht, wie ich das machen soll.
Kann mir dabei jemand helfen ?

DrBoogie aktiv_icon

19:13 Uhr, 20.11.2017

(2, 2, 2, 2)

ist definitiv nicht invertierbar, denn

(2, 2, 2, 2) \cdot (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

hat nur gerade Einträge und kann nicht

(1, 0, 0, 1)

sein.

sarah0809 aktiv_icon

19:29 Uhr, 20.11.2017

Wie wird das formal bewiesen.

Mein Ansatz wäre:

Zu zeigen:

\times' = x' x = (1,0,0,1)

Sei

x = (2,2,2,2)

und

x' = (- 2, - 2, - 2, - 2)

Dann folgt daraus:

xmx'=

(2 \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 2), 2 \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 2) ... . .) = (- 8, - 8 ...)

≠

(1,0,0,1),

deshalb ist

x

nicht invertierbar und damit resultiert, dass

M

keine Gruppe ist.
Ist das so richtig ?

DrBoogie aktiv_icon

19:32 Uhr, 20.11.2017

Nein, das ist falsch. Du nimmst einen fixen Tupen

(2, 2, 2, 2)

und zeigst, dass sein Produkt mit einem BELIEBIGEN anderen Tupel nicht

(1, 0, 0, 1)

sein kann. Wie ich oben geschrieben habe.

sarah0809 aktiv_icon

19:36 Uhr, 20.11.2017

Dann würde ich doch dies hier zeigen:

Zu zeigen:

(2,2,2,2) m (b 1, b 2, b 3, b 4) = (1,0,0,1)

(2,2,2,2) m (b 1, b 2, b 3, b 4) = (2 b 1 + 2 b 3,2 b 2 + 2 b 4,2 b 1 + 2 b 3,2 b 2 + 2 b 4) = (1,0,0,1)

2 b 1 + 2 b 3 = 1 \Rightarrow b 1 = 0,5 - b 3

2 \cdot (0,5 - b 3) + 2 b 3 = 0

1 - 2 b 3 + 2 b 3 = 0 \Rightarrow 1

≠ 0

deshalb kann das nicht stimmen.

Ist das so richtig ?

DrBoogie aktiv_icon

19:40 Uhr, 20.11.2017

2 b_{1} + 2 b_{3} = 1

kann schon unter keinen Umständen stimmen, da braucht man nicht weiter zu rechnen.

sarah0809 aktiv_icon

19:43 Uhr, 20.11.2017

Ja, da hast du recht, da wir die ganze Zahlen als Menge haben.

Vielen Dank.

Eine andere Frage.

Es ist doch auch nicht jommutativ oder ?

Ich habe das wie folgt gezeigt:

Zu zeigen:

a m b = b m a

a m b = (a 1 b 1 + a 2 b 3, a 1 b 2 + a 2 b 2 ... . .)

b m a = (b 1 a 1 + b 2 a 3, b 1 a 2 + b 2 a 2 ... . .)

Daraus folgt

a m b

≠

b m a

und damit ist die Aussage widerlegt.

Stimmt dieser Beweis ?

DrBoogie aktiv_icon

19:46 Uhr, 20.11.2017

Um etwas zu widerlegen, brauchst Du konkrete Zahlen.

sarah0809 aktiv_icon

19:51 Uhr, 20.11.2017

Okay. Ich habe zwei Tupel gefunden, wo die Kommutativität nivht gilt.

Habe das wie oben gemacht, nur das ich Zahlen eingesetzt habe.

Das reicht zu zeigen, dass es ncith Kommutativ ist oder bin ich ganz falsch und die Kommutativität gilt ?

DrBoogie aktiv_icon

22:13 Uhr, 20.11.2017

Ja, das reicht.

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