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Existenz der n-ten Wurzel in IR mit Supremumseig.

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Beweis, Reelle Zahlen

Jacob-Zahlenfolge aktiv_icon

14:30 Uhr, 15.06.2022

Hallo,mir geht es eher um eine Korrektur eines Teilbeweises von mir.

Behauptung:
Sei

x \in ℝ

und

n \in ℕ

, dann existiert genau eine positive reelle Zahl

y \in ℝ^{+}

mit

y^{n} = x

.

Beweis in drei Teilschritteb:

(i)
Es wird zunächst die Menge

A = {y \in ℝ^{+} ∣ y^{n} \leq x}

und die Existenz eines Supremums für diese Menge gezeigt.
Sei dieses durch

sup A = s

bezeichnet

(ii)

Annahme:

s^{n} < x

So jetzt kommt meine Frage:

Ich habe nun ein

ε := min {1, \frac{x - s^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k}}}

gewählt

Es folgt:

(s + ε)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k} ε^{k} = s^{n} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k} ε^{k} \leq s^{n} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k} ε

= s^{n} + ε \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k} = s^{n} + \frac{x - s^{n}}{\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) s^{n - k} = s^{n} + (x - s^{n}) = x

Kann man die Abschätzung so machen? ich habe unter anderem verwendet, dass

ε \leq 1 \Rightarrow ε^{n} \leq 1 \Rightarrow ε^{n} \leq ε

Bernoulli-Ungleichung soll nicht verwendet werden

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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