Existenz einer Funktion mit Gradient prüfen

Hallo, ich brauche mal wieder Hilfe bei einer Aufgabe.

Ich soll überprüfen ob es eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\to \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gibt, mit

${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$.

Also nach allem was ich bisher versuch habe, glaube ich, dass es keine solche Funktion gibt, aber dies zu beweisen bekomme ich irgendwie nicht hin.

Also der Gradient sieht ja folgerndermaßen aus

${\displaystyle \nabla \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\\ {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^2\end{array}\right)}$.

Aber wie weise ich das ganze nun rechnerisch nach?

Danke für eure Tips,

lg

Also dann ist ${\displaystyle \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{3},\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{2}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Damit würde ich doch dann als Funktion

${\displaystyle \frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{2}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}{3}}$ erhalten. Wenn ich das aber nach y ableite, kommt nicht das gewünschte Ergebnis heraus. Bin ich damit schon fertig?

Also meinst du es folgendermaßen?? :

Ich kann die Hesse Matrix der Funktion aufstellen mit

${\displaystyle \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$

Da diese jetz nicht symmetrisch ist (was sie ja eigentlich sein sollte) existiert kein solches f.

Wäre das so möglich?

Hey, ich hatte einen Dreher in der Matrix, deine stimmt natürlich.

Das war ja eigentlich nicht so schwierig, vielen Dank für deine Hilfe :)