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Existenz eines UR der zu zwei UR komplementär ist.

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Bijektion, Direkte Summe, Komplement, Linear Abbildung, Untervektorraum, Vektorraum

anjula aktiv_icon

20:01 Uhr, 15.05.2018

Hallo!

Ich bin neu hier und wollte eine Frage zu folgender Aufgabe stellen.

"Es seien

U_{1}

und

U_{2}

Unterräume derselben endlichen Dimension eines Vektorraumes V. Beweise, dass es mindestens einen Unterraum

T

von

V

gibt, der sowohl zu

U_{1}

als auch zu

U_{2}

bezüglich

V

komplementär ist.

Hinweis: Betrachte zunächst den Sonderfall

V = U_{1}

⊕

U_{2}

(direkte Summe). Wähle hier eine Bijektion

f

∈

L (U_{1}, U_{2})

(lineare Abbildung) und zeige, dass

T := {u_{1} + f (u_{1}) | u_{1}

∈

U_{1}}

die gewünschte Eigenschaften besitzt. Behandle daran anschließend den Fall

V = U_{1} + U_{2}

und erst zuletzt den Fall

V

≠

U_{1} +

U_2."

Ich habe mir einmal folgendes zusammengeschrieben:

Def: Zwei Untervektorräume

U 1, U 2

heißen komplementär in

V,

falls

U 1 + U 2 = V

und

U 1 \cap U 2 = {0}

.
Lemma & Def: Sei

\sum_{i \in I} U_{i} \subset V

Summe einer Familie

{(U_{i})}_{i \in I}

von Untervektorräumen U_I

\subset V,

dann besitzt jeder Vektor

u \in U

eine eindeutige Zerlegung genau dann wenn

\forall i \in I : U_{i} \cap \sum_{j \neq i} U_{j} = {0}

. In diesem Fall heißt die Summe direkt.
Bem: Eine Summe

V = \sum_{i \in I} U_{i}

ist genau dann direkt, wenn

\forall i \in I : U_{i}, \sum_{j \neq i} U_{j} \subset V

komplemente Untervektorräume sind.

Nun meine Überlegungen:
Wenn ich

U 1

⊕

U 2

betrachte: dh nun

U_{1} \cap U_{2} = {0},

aber laut der letzten Bemerkung folgt auch das

U_{1} + U_{2} = V,

also das

U_{1}

und

U_{2}

komplementär zueinander sind.

Wenn ich die lineare Abbildung

f \in (U_{1}, U_{2})

betrachte

: f : U_{1} \to U_{2}

. Bijektiv ist die Abbildung genau dann, wenn

f (U_{1}) = U_{2}

und ker

f = {0}

. "Da

f

eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Verträumen mit gleicher Dimension ist, reicht es zu zeigen, dass

f

injektiv ist." Stimmt dieser Satz? Den habe ich in einem anderen Forum gefunden.
und wenn ich nun nurmehr zeigen muss das

f

injektiv ist, soll ich das so zeigen?
"=>" Ist

f

injektiv und

u_{1}

in er

f,

so gilt

f (u_{1}) = 0 = f (0) \Rightarrow (f

inj.)

u_{1} = 0

"<=" Ist ker

f = {0}

und sind

u_{1}, u_{1}' \subset U_{1}

mit

f (u_{1}) = f (u_{1}')

so gilt

f (u_{1} - u_{1}') = f (u_{1}) - f (u_{1}') = 0 \Rightarrow u_{1} - u_{1}'

in ker

f = {0}

daher ist

u_{1} = u_{1}'

also ist

f

injektiv.

T := {u_{1} + f (u_{1}) | u_{1}

∈

U_{1}} :

Das Bild von

u_{1}

doch

u_{2}

oder? Denn die Funktion

f

ist definiert als

f : U_{1} \to U_{2}

. Das heißt es wird der gesamte Vektorraum

V

aufgespannt und es gilt

T = V

?
Mit 'gewünschte Eigenschaften' habe ich echt keine Ahnung was damit gemeint ist. Die Eigenschaft die in den eckigen Klammern steht? Die Eigenschaft das

T

ein Komplement ist? od die Eigenschaft das

T

ein Untervektorraum ist? Sorry bin echt verwirrt

: S

Wenn

U_{1} + U_{2} = V

ist, dann müsste

T = {0}

sein, denn

U_{1}

und

U_{2}

spannen schon den gesamten Vektorraum auf. Oder

T = U_{1}

oder

T = U_{2}

Wenn

U_{1} + U_{2} \neq V

ist, dann muss ein

T

existieren, sodass

U_{1} + U_{2} + T = V

gilt

Es tut mir Leid das ich gleich so viel Frage, aber ich bin Anfänger und tue mir echt schwer diese Aufgabe zu lösen.

Danke schon mal im Voraus!

Lg

nAujla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:21 Uhr, 17.05.2018

Hallo,

ich fange mal mit der Situation

V = U_{1} \oplus U_{2}

an.
Jedes

v \in V

kann man also schreiben als

v = u_{1} + u_{2}

mit

u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}

.

1. Es gilt

T + U_{2} = V

.
Beweis:

v = u_{1} + u_{2} = (u_{1} + f (u_{1})) + (u_{2} - f (u_{1}))

.
Hier ist

u_{1} + f (u_{1}) \in T

und

u_{2} - f (u_{1}) \in U_{2}

.

2. Es gilt

T + U_{1} = V

.
Beweis:

v = u_{2} + u_{1} = (f^{- 1} (u_{2}) + u_{2}) + (u_{1} - f^{- 1} (u_{2}))

.
Hier ist

u_{1} - f^{- 1} (u_{2}) \in U_{1}

und

f^{- 1} (u_{2}) + u_{2} = f^{- 1} (u_{2}) + f (f^{- 1} (u_{2})) \in T

.

3.

T \cap U_{1} = {0}

.
Beweis:
Sei

v \in T \cap U_{1}

. Dann gibt es nach Definition von

T

ein

u_{1} \in U_{1}

mit

v = u_{1} + f (u_{1})

. Wegen

v \in U_{1}

folgt

f (u_{1}) \in U_{1} .

Wegen

f (u_{1}) \in U_{2}

und

U_{1} \cap U_{2} = {0}

gilt also

f (u_{1}) = 0

.
Da

f

bijektiv ist, folgt

u_{1} = 0

und damit auch

v = 0

.

4.

T \cap U_{2} = {0}

.
Beweis: den darfst du machen ...

Gruß ermanus

anjula aktiv_icon

19:56 Uhr, 19.05.2018

Hallo!

Ich probier's mal aus.

Vielen vielen Dank! :-)

Lg
nAujla

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