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Existenz partieller Ableitung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

MBStudent2 aktiv_icon

13:10 Uhr, 13.04.2016

Moin,
ich habe mich neu angemeldet, weil ich bei einer Aufgabenstellung nicht auf die passende Lösung komme. Die Aufgabe lautet:

f (x, y, z) = 2 x \cdot e^{y \cdot z} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

ist stetig in

R^{3}

und besitzt für

(x, y, z) \neq (0, 0, 0)

die partiellen Ableitungen. Weisen Sie nach, dass die partiellen Ableitungen an der Stelle

(0, 0, 0)

nicht existieren.

Mein Lösungsweg:

Die folgenden Grenzwerte müssen existieren (für

(x, y, z)

dann

(0, 0, 0)

eingesetzt:

1) lim_{(\partial x) \to 0} (\frac{f (x + \partial x, y, z) - f (x, y, z)}{\partial x}) = ... .

= 0

2) lim_{(\partial y) \to 0} (\frac{f (x, y + \partial y, z) - f (x, y, z)}{\partial y}) = ... .

= 1

3) lim_{(\partial z) \to 0} (\frac{f (x, y, z + \partial z) - f (x, y, z)}{\partial z}) = ... .

= 1

Nun existieren aber alle Grenzwerte, wo habe ich da einen Denkfehler, bzw. einen Grenzwert falsch berechnet?

Würde mich über Unterstützung freuen!

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

13:52 Uhr, 13.04.2016

Hallo,

wenn jmenad Deinen Fehler finden soll, wirst du wohl Deine Rechnung posten müssen.

Gruß pwm

DerDepp aktiv_icon

14:26 Uhr, 13.04.2016

Hossa :-)

Das Problem ist die Ableitung der Wurzel. Betrachte z.B. die partielle Ableitung nach

x

\frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

Für

y = 0

und

z = 0

haben wir dann:

\frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}) = \frac{x}{∣ x ∣}

Durch den Betrag sind der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert geggen 0 unterschiedlich:

lim_{\binom{x \to 0}{x < 0}} (\frac{x}{∣ x ∣}) = - 1; lim_{\binom{x \to 0}{x > 0}} (\frac{x}{∣ x ∣}) = + 1

Man kann also keinen eindeutigen Grenzwert für

x \to 0

angeben.

MBStudent2 aktiv_icon

16:40 Uhr, 13.04.2016

Hi,
danke für die Antwort! Ich muss also den Limes der jeweiligen partiellen Ableitung, nicht der Funktion selbst betrachten, richtig? Und der Grenzwert muss nicht nur existieren, sondern links- und rechtsseitig gleich sein, korrekt?

Gruß

DerDepp aktiv_icon

09:28 Uhr, 14.04.2016

Hossa :-)

Die partielle Ableitung existiert ja für alle Punkte außer (0,0,0). Daher kannst du sie auch überall bis auf den Ursprung ausrechnen. Die Ableitung bei (0,0,0) muss dann der Grenzwert der partiellen Ableitungen sein. Du kannst aber nicht entscheiden, welches Vorzeichen die partielle Ableitung bei (0,0,0) hätte. Der Grenzwert ist also nicht eindeutig und daher die partielle Ableitung bei (0,0,0) nicht definiert.

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