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Existenz von uneigentlichen Integralen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Existenz, Integration, Uneigentliche Integrale

lillibu aktiv_icon

17:45 Uhr, 15.11.2019

Hallo,
ich habe eine Aufgabe erhalten, in der ich die Existenz von zwei uneigentlichen Integralen überprüfen soll. Im zweiten Schritt soll ich dann die Integrale berechnen falls dies möglich ist.

Das erste Integral lautet:

∫_0^∞〖ⅇ^x/(1+ⅇ^x)^2 ⅆx〗

Das zweite:

∫_1^∞〖x/(x^2+sinx ) ⅆx〗

Mein Ansatz ist zu überprüfen wie das Verhalten der Funktionen für

x

gegen unendlich ist. Bei dem ersten Integral kommt dann als Grenzwert 0 heraus, weshalb das Integral ja existieren müsste. An der Stelle komme ich dann allerdings nicht weiter.
Beim zweiten Integral habe ich bisher noch keinen Grenzwert bilden können.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

18:07 Uhr, 15.11.2019

.
es ist

\to \int \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} \cdot d x = - \frac{1}{1 + e^{x}} + C

kannst du nun sagen, was du zu

\to \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} \cdot d x

herausfindest ?

.

lillibu aktiv_icon

18:17 Uhr, 15.11.2019

Okay vielen Dank schon einmal, allerdings verstehe ich noch nicht wie du auf die Stammfunktion gekommen bist.

Wenn ich die Stammfunktion nun so annehme, dann kann ich das Integral berechnen indem ich

lim

für

x

gegen unendlich von der Stammfunktion bilde und dann 1/(1+exp(0)) subtrahiere, richtig ?

Der Limes würde dann gegen 0 gehen und 1/(1+exp(0)) ist

\frac{1}{2}

. So ergibt sich dann allerdings

- \frac{1}{2}

für das Integral.

rundblick aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.11.2019

.
".. ich noch nicht wie du auf die Stammfunktion gekommen bist."

einfache Substitution

\to u = 1 + e^{x}

probier es mal selbst :

\to \int \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} \cdot d x = ... ...

.

"So ergibt sich dann allerdings

- \frac{1}{2}

für das Integral. "

...

. NEIN

\to + \frac{1}{2} \to

warum ?!! (schau genau hin bei der Stammfunktion..)

abgetaucht?
.. na ja - tschau
.

lillibu aktiv_icon

19:08 Uhr, 15.11.2019

Ne abgetaucht nicht, ich konnte gerade nicht weitermachen aber bin jetzt wieder da.
Wenn ich die Substitution mache, dann ergibt sich das Integral ∫(u-1)/u^2

e^{x}

du. Also wieder einsetzen und es folgt: ∫(u-1)/u^2 (u-1)du. Soweit müsste das stimmen, oder?
Das Integral dann noch weiter auflösen und die einzelnen Integrale zu einer Stammfunktion zusammenfügen. Ich erhalte als Stammfunktion dann -2ln(u)+u-

(\frac{1}{u})

ledum aktiv_icon

03:47 Uhr, 16.11.2019

Hallo du substituierst offensichtlich falsch!

u = 1 + e^{x},

= e^{x} \cdot d x

also hast du das Integral

\int \frac{1}{u^{2}}

du
immer wenn du ein Integral der Form

\frac{f'}{f^{2}}

hast kannst du so verfahren weil

(\frac{1}{f})' = - \frac{f'}{f^{2}}

ist.
du kannst auch ohne integrieren den Integranden vergrößern
auf auf

\frac{e^{x}}{e^{x}^2}

und daraus zeigen, dass das Integral konvergiert
beim zweiten wieder verkleinern (sinx>=-1) und zeigen dass es schon mit dem verkleinerten Integranden nicht existiert.
Gruß ledum

lillibu aktiv_icon

17:50 Uhr, 17.11.2019

Super! Vielen, vielen Dank! Ich habe meinen Fehler gesehen, keine Ahnung was ich da fabriziert habe. Danke dir :-)

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