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Existenzintervall

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Existenz, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lipschitzstetigkeit, Picard-Lindelöf

Bruno Math

12:20 Uhr, 05.06.2021

Hallo, ich sitze grade an einer Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei vielleicht helfen:
Ich hab die Differentialgleichung

y ´ (x) = 1 + y (x)^{2}

gegeben und soll zunächst zeigen, dass

y ´ (x) = f (x, y (x))

lipschitzstetig im zweiten Argument ist und damit die Voraussetzungen vom Satz von Picard-Lindelöf erfüllt. Allerdings ist die Ableitung

f ´ (x, y (x)) = 2 y (x)

ja nicht beschränkt, sodass

f

eigentlich nicht lipschitzstetig sein kann???

Als nächstes soll ich dann das größte Existenzintervall nach dem globalen Satz angeben. Hier habe ich aber gar keine Idee, wie das funktioniert.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

13:20 Uhr, 05.06.2021

Hallo,

Du hast Recht: Die rechte Seite ist nicht - global - Lipschitz-stetig.

Der Grund-Satz von PL schränkt aber die Menge, die der ganzen Aufgabe zugrunde liegt ei, so dass dieser Satz doch lokal anwendbar ist.

Die rechte Seite ist - lokal - Lipschitz-stetig, also ist eine globale Existenzaussage möglich. Allerdings musst Du da mal auf die Details aus Euren Sätzen schauen.

Im übrigen hilft es auch, die allgemeine Lösung der Dgl zu bestimmen, um einen Anhaltspunkt zu haben.

Gruß pwm

Bruno Math

13:33 Uhr, 05.06.2021

Heißt das, eine lokale Lipschitzstetigkeit reicht aus, um eine globale Existenzaussage machen zu können? Wir haben die Funktion

f

so definiert, dass

f : [a, b] \times G \to ℝ^{n}

, also reicht es doch, ein

G

zu finden, sodass

f

dort lipschitzstetig ist?

f

ist an sich ja nur im Unendlichen nicht mehr lipschitzstetig...
Die Lösungen der DGL sind auf jeden Fall

y_{1} (x) = 0

und

y_{2} (x) = (\frac{2}{3} x)^{\frac{2}{3}} .

Nick76 aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.06.2021

f (x, y)

genügt in

G \in ℝ^{2}

einer Lipschitzbedingung in Bezug auf

y,

wenn gilt:

| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq L \cdot | y_{1} - y_{2} |

für ein

L \geq 0

und für alle Punkte

(x, y_{1}), (x, y_{2}) \in G

Eine Konstante

L

lässt hier mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung herleiten:

f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) = f_{y} (x, y_{0}) \cdot (y_{1} - y_{2})

für ein

y_{0}

zwischen

y_{1}

und

y_{2}

f_{y}

bezeichnet hierbei die partielle Ableitung nach

y

.
In diesem Fall gilt also

f_{y} = 2 \cdot y

Damit erhält man:

| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq | 2 \cdot y | \cdot | y_{1} - y_{2} |

Betrachtet man für

G

ein Rechteck

R = {(x, y) | | x | \leq a, | y | \leq b}

so folgt unmittelbar

| f (x, y_{1}) - f (x, y_{2}) | \leq 2 \cdot b \cdot | y_{1} - y_{2} |

mit

L = 2 \cdot b

als Lipschitzkonstante.

Gruß

Nick

Bruno Math

14:39 Uhr, 05.06.2021

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Also kann man sagen, dass

f

für ein beliebiges

b

lipschitzstetig ist?

Wie genau gebe ich denn dann das Existenzintervall an?

Nick76 aktiv_icon

17:33 Uhr, 05.06.2021

Man kann sagen, dass

f

in einem beliebigen, beschränkten Bereich

R = {(x, y) | | x - x_{0} | \leq a, | y - y_{0} | \leq b}

lipschitzstetig ist.

Für einen solchen Bereich existiert nach dem Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf genau eine Lösung, für das Anfangswertproblem

y' = f (x, y)

mit

y (x_{0}) = y_{0},

wenn

f

stetig ist.

Ein Intervall auf dem eine Lösung mindestens existiert ist dann I=

[

x_{0} - α, x_{0} + α]

mit

α = min {a, \frac{b}{M}}, M = max {| f (x, y) |

mit

(x, y) \in R}

Bruno Math

17:56 Uhr, 05.06.2021

Aber woher kenne ich denn

a

und

b

?

Der globale Satz aus unserer VL besagt, dass die AWA eine Lösung auf dem gesamten Intervall

[a, b]

besitzt, wenn

M (b - a) < δ

gilt, wobei

M = s u p ∣ ∣ f (x, y) ∣ ∣

und

δ

der Radius einer abgeschlossenen Kugel um

y_{0}

ist.

pwmeyer aktiv_icon

19:00 Uhr, 05.06.2021

Hallo,

"Die Lösungen der DGL sind auf jeden Fall ..."
Da würde ich mal gerne die Probe sehen.

Gruß pwm

Bruno Math

02:14 Uhr, 06.06.2021

Danke für deine Antwort, ich bin da wohl in meiner Zeile verrutscht. Die richtige Lösung ist natürlich

y (t) = t a n (t)

. Und wie genau mache ich dann weiter?

Nick76 aktiv_icon

08:07 Uhr, 07.06.2021

Für den oben genannten Bereich

R

ist

M = 1 + b^{2}

also ist

α = min {a, \frac{b}{M}} = min {a, \frac{b}{1 + b^{2}}}

. Das Intervall I soll so groß wie möglich werden, also muss

α

maximiert werden. Mann kann daher

a \geq \frac{b}{1 + b^{2}}

annehmen. Damit gilt

α (b) = \frac{b}{1 + b^{2}}

.
Jetzt kann man das Maximum von

α (b)

bestimmen und erhält ein Existenzintervall I=

[

x_{0} - α, x_{0} + α]

für die Lösung des Anfangswertproblems.

Bruno Math

11:06 Uhr, 07.06.2021

Vielen Dank für deine Antwort, ich kann soweit alles nachvollziehen und erhalte als Maximum für

α (b)

den Punkt

(1, 0.5)

. Damit wäre das Existenzintervall

I = [x_{0} - 0.5, x_{0} + 0.5]

?

Deine Definition von

α

weicht insofern von unserer ab, als dass wir

α = m i n (b - a, \frac{a}{L}, \frac{δ}{M})

gesetzt haben. Dafür müsste ich allerdings noch

L

wählen...

Nick76 aktiv_icon

12:48 Uhr, 07.06.2021

Ja, das stimmt soweit. Beachte nur, dass bei der Berechnung die Anfangsbedingung

y (0) = tan (0) = 0

benutzt wird,

d . h

x_{0} = 0, y_{0} = 0

. Damit ist I=

[

\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

und der Bereich

R = {(x, y) | | x | \leq a, | y | \leq b}

. Bei einer anderen Anfangsbedingung kommt für

M

etwas anderes heraus.

Die Definition von

α

habe ich aus dem Repetitorium der Höheren Mathematik.
Die Definition aus Deiner Vorlesung habe ich nirgends gefunden.
Sie erscheint mir auch komplizierter zu sein.

Bruno Math

16:09 Uhr, 07.06.2021

Stimmt, die habe ich jetzt übersehen. Da dann aber

\frac{a}{L} = 0

mit den Anfangswerten gilt, wird

α = 0

gelten, weil

\frac{δ}{M} > 0

... Ich halte mich mal lieber an deine Definition...

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