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Existiert ein neutrales Element?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsche Gruppe, abelsche Gruppen, Gruppe, Gruppen, Gruppenaxiome, Halbgruppe, kommutativ, Monoid, neutrales Element
 
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Folgendes sei gegeben: \0} , aᐤb =ab Grundsätzlich gilt ja, aᐤe = eᐤa Natürlich ist die Division nicht kommutativ ⇒ aᐤe ≠ eᐤa aᐤe ⇒ Allerdings gilt dies eben nur für die Verknüpfung aᐤe. Führt man die Probe mit eᐤa durch, dann ergibt sich nicht sondern . Das stimmt natürlich nicht und würde damit einen Widerspruch darstellen ↯. Existiert das neutrale Element dennoch, oder müssen dafür immer a ᐤ UND ᐤ ?? Weil kommutativ muss es für eine gewöhnliche Gruppe doch nicht sein. Oder stellt das Neutrale bzw. Inverse hier eine Ausnahme dar? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Du unterliegst einem beliebten Trugschluß! Kommutativ heist, dass für alle gilt a○b = b○a. Nicht kommutativ heist, dass es mindestens ein Paar gibt, so dass a○b b○a ist. Für das neutrale Element gilt übrigends: Wenn es ein linksneutrales Element und ein rechtsneutrales Element gibt, so gilt deshalb nennt man ein solches links- und rechtsneutrales Element einfach nur neutrales Element Warum gilt das? Für das linksneutrale Elemrnt gilt: e_l○a . Da das für alle Elemente aus gilt, gilt das insbesondere für das rechtsneutrale Element e_l○e_r=e_r Für das rechtsneutrale Elemrnt gilt: a○e_r . Da das für alle Elemente aus gilt, gilt das insbesondere für das linksneutrale Element e_l○e_r=e_l Jetzt gilt aber, dass die Verknüpfung ○ eindeutig ist, demzufolge ergibt e_l○e_r immer das selbe. Damit muß gelten . Deshalb gilt immer: e○a=a=a○e für alle . |
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Soweit so gut. Das heißt also, dass es immer ein neutrales Element gibt, wenn es ein rechts- und/oder linksneutrales Element gibt, da diese deiner Folgerung nach ja gleich sein müssen (also el = er . Wie kann dies nun in meinem konkreten Fall gezeigt werden? Hier ist das neutrale Element somit 1. Verknüpfe ich nun: ᐤ und habe einen Widerspruch, da ≠ a ?? |
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Hallo, "Soweit so gut. Das heißt also, dass es immer ein neutrales Element gibt, wenn es ein rechts- und/oder linksneutrales Element gibt, da diese deiner Folgerung nach ja gleich sein müssen (also el = er =e)." Falsch! Wenn es ein linksneutrales UND ein rechtsneutrales Element gibt, dann sind diese gleich! Also nichts mit "oder"! Wie kommst Du von der Zeile e○a=a auf Und was ist für eine Operation? |
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Ich habe hier die Probe durchgeführt. Es gilt: aᐤe = eᐤa Wir haben das neutrale Element bestimmt mit: aᐤe a⋅e ⇒ Nun die Probe: 1. aᐤe ✅ 2. eᐤa ❌ Also ein Widerspruch? Das neutrale Element von Links und das neutrale Element von Rechts stimmen ja auch von vorne herein nicht überein! aᐤe und von links eᐤa ❌ Aber dennoch wissen wir, dass das neutrale Element der Division (alleine und ohne weitere Operationen, wie auch in dieser Angabe) existiert und 1 ist!? Also wie kommt dieser Widerspruch zustande?! Hat es etwas damit zu tun, dass in der Algebra die Division eigentlich eine Multiplikation mit dem Inversen ist? Also so: eᐤa Aber dann würde ich ja hier auch wieder eine allgemeine Rechenregel verletzen: anstatt Also du kannst es dir schon denken - lange Rede kurzer Sinn. Es geht mir darum, dass das neutrale von links und von rechts eben nicht identisch sind und es dennoch existiert. |
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ACHTUNG!!! Ich sehe gerade, dass in der Angabe die Gruppenoperation verschwunden ist!! Keine Ahnung wie dies zustande gekommen ist. Hier noch einmal die korrekte Version. Vielleicht ist es so logischer! Folgendes sei gegeben: \0} , aᐤb Die Gruppenoperation ist eine DIVISION! |
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Hallo, bei dieser Operation gibt es kein linksneutrales Element! Deshalb gibt es auch kein neutrales Element sondern nur ein rechtsneutrales Element! |
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Ok gut, dachte ich mir schon, da es sonst einfach keinen Sinn ergibt. Vielen Dank! :-) |
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