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Exotische Determinante

Schüler

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Christian-

Christian- aktiv_icon

14:08 Uhr, 27.03.2019

Antworten
Hallo Freunde,

folgende Aufgabe verstehe ich nicht, wie ich es zeigen soll. Ich weiß zwar, dass dies gilt, aber wie zeige ich es (Siehe Bild)?


Danke, wer helfen kann.

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Bummerang

Bummerang

16:28 Uhr, 27.03.2019

Antworten
Hallo,

Das erste und einfachste, das mir einfällt, ist die vollständige Induktion. Beim Beweis der Induktionsbehauptung willst Du die Determinante einer (n+1)×(n+1) -Matrix ermitteln. Dazu subtrahierst Du das 1n+1 -fache der Zeilen 2 bis (n+1) von der ersten Zeile. Wegen der Struktur der Matrix subtrahierst Du in den Spalten 2 bis (n+1) genau (n-1) Mal 1n+1 und einmal 2n+1 also insgesamt immer 1. Damit bleiben in der ersten Zeile bis auf Spalte 1 nur noch Nullen übrig. Das erste Element der neuen ersten Zeile ergibt sich als:

2-n1n+1=2n+2-nn+1=n+2n+1

Entwickelst Du die Determinante nach der ersten Zeile ergibt sich:

n+2n+1 Determinante( n×n- Matrix)   ; nach Ind.vor.

=n+2n+1(n+1)=n+2=(n+1)+1
Antwort
Respon

Respon

16:39 Uhr, 27.03.2019

Antworten
Bringe die dazugehörige Matrix auf Stufenform.
Ziehe das 12- fache der ersten Zeile von allen darunterliegenden Zeilen ab.
Ziehe das 13- fache der zweiten Zeile von allen darunterliegenden Zeilen ab.
Ziehe das 14- fache der dritten Zeile von allen darunterliegenden Zeilen ab.
usw.
Ziehe das 1i+1- fache der i- ten Zeile von allen darunterliegenden Zeilen ab.

Die i- te Zeile sieht im Ergebnis dann so aus:
i-1 mal die 0, dann i+1i und bis zum Ende der Zeile 1i

Die n- te Zeile sieht im Ergebnis dann so aus:
n-1 mal die 0, dann n+1n- damit ist die Zeile aber auch schon zu Ende.

Du bekommst
(21111...1032121212...1200431313...13.....................00000...n+1n)

Die Determinante ist dann das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonale.
2324354...nn-1n+1n=n+1

Aber sicher gibt es eine elegantere und kürzere Methode.

Christian-

Christian- aktiv_icon

17:08 Uhr, 27.03.2019

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Danke euch habt es sehr gut erklärt,
Respon ich hätte da eine Frage
wie bist du da unten auf nn-1 gekommen?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:30 Uhr, 27.03.2019

Antworten
@Respon

Eleganter nicht, aber man kann folgende Verallgemeinerung fast ohne Mehraufwand gegenüber dem Spezialfall a=2,b=1 beweisen:

Betrachten wir die n×n-Matrix An, welche auf der Hauptdiagonale überall a und außerhalb überall b stehen hat. Dann kann man dn:=det(An) folgendermaßen rekursiv berechnen:

Zunächst zieht man von der ersten die zweite Zeile ab, direkt danach von der ersten Spalte die zweite Spalte.

Dann steht in der ersten Zeile (2(a-b),b-a,0,,0), und gemäß Laplaceschen Entwicklungssatz haben wir dann

dn=2(a-b)det(An-1)-(b-a)det(Bn-1)

mit einer Matrix Bn-1, die als erste Spalte (b-a,0,,0)T hat, den Rest der ersten Zeile (unwichtig) nur b und im "Rest" aus An-2 besteht. Das ergibt det(Bn-1)=(b-a)det(An-2) und damit letzlich die Rekursionsgleichung

dn=2(a-b)dn-1-(a-b)2dn-2

mit den Startwerten d0=1 sowie d1=a. Per Induktion kann man damit dann im Fall ab die explizite Darstellung dn=(a-b)n-1(a+b(n-1)) beweisen.

Antwort
Respon

Respon

19:34 Uhr, 27.03.2019

Antworten
@Christian
"wie bist du da unten auf nn-1 gekommen?"

2=21

Betrachten wir die Eintragungen in der Hauptdiagonale der umgeformten Stufenmatrix:
21;32;43;54;65;76;87;... n+1n
Jedes Element ist aus dem vorhergehenden entstanden, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner um 1 vergößert wird. Oder umgekehrt: von jedem Element komme ich zu dem vorangegangenen, indem ich sowohl Zähler als auch Nenner um 1 verringere.
Ist nun das letzte Element n+1n, so muss das vorletzte n+1-1n-1=nn-1 sein.
Bei dem Prdodukt dieser Elemente kürzen sich alle Zahlen bis auf n+1 "schräg" heraus.
Christian-

Christian- aktiv_icon

22:49 Uhr, 27.03.2019

Antworten
Ah so ich verstehe, dann hätte ich noch eine letzte Frage.
Wie kürzt du es konkret, damit am Ende n+1 auftaucht?
Antwort
Respon

Respon

06:07 Uhr, 28.03.2019

Antworten
" schräg "

2132435465...n-1n-2nn-1n+1n

2 gegen 2,3 gegen 3,4 gegen 4,5 gegen 5,...,(n-2) gegen (n-2),(n-1) gegen (n-1),n gegen n

... übrig bleibt n+1
Frage beantwortet
Christian-

Christian- aktiv_icon

19:24 Uhr, 15.04.2019

Antworten
Vielen Dank!