Startseite » Forum » Explizite Form

Explizite Form

Schüler

11:06 Uhr, 02.12.2019

Hallo.
Ich soll Differenzengleichungen in expliziter Form, dh. nach

\frac{x}{y}

auflösen, angeben, so wie zum Beispiel die Differenzengleichung

x_{n + 1} = x_{n} + 3

mit

x_{0} = 2

wäre

x_{n} = 2 + 3 n

.
Kann man eine Form wie

x_{n + 1} = a x_{n} + b

überhaupt explizit angeben? Ist zB.

a = 2

und

b = 5,

wie wäre hier eine explizite Darstellungsweise von

x_{n}

?

Danke! :-)

11:17 Uhr, 02.12.2019

x_{1} = a x_{0} + b

x_{2} = a x_{1} + b = a (a x_{0} + b) + b = a^{2} x_{0} + a b + b

x_{3} = a x_{2} + b = ... = a^{3} x_{0} + a^{2} b + a b + b

.
.

x_{n} = a^{n} x_{0} + b \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} = a^{n} x_{0} + b \frac{a^{n} - 1}{a - 1}

mit

a \neq 1

Für

a = 1

wär's dann:

x_{1} = x_{0} + b

x_{2} = x_{1} + b = x_{0} + 2 b

.
.

x_{n} = x_{0} + n b

;-)

09:44 Uhr, 04.12.2019

danke!

12:12 Uhr, 04.12.2019

Andere Idee: Im Fall

a \neq 1

folgt aus

x_{n + 1} = a x_{n} + b

die Gleichung

x_{n + 1} + \frac{b}{a - 1} = a x_{n} + b + \frac{b}{a - 1} = a (x_{n} + \frac{b}{a - 1})

,

d.h. diese um

\frac{b}{a - 1}

"verschobene" Folge ist eine geometrische, demzufolge gilt

x_{n} + \frac{b}{a - 1} = a^{n} (x_{0} + \frac{b}{a - 1})

, umgestellt

x_{n} = a^{n} (x_{0} + \frac{b}{a - 1}) - \frac{b}{a - 1}

.

Im Fall

a = 2, b = 5

bedeutet dies dann

x_{n} = 2^{n} (x_{0} + 5) - 5

.

Zum verbleibenden Fall

a = 1

hat Edddi ja schon alles gesagt: Da ist einfach

x_{n} = x_{0} + n b

1489001

1488672

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?