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Exponent von einer Gruppe

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Tags: Exponent, Gruppen

 
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fesiborlin

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11:07 Uhr, 03.12.2017

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Hallo,
ich versuche diese Aufgabe zu lösen:
Sei G eine endliche Gruppe. Der Exponent von G sei die kleinste Zahl n∈ℕ mit gn=1∀g∈G.
(1) Zeigen Sie , dass der Exponent von G das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen der Elemente in G ist.
(2) Beweisen Sie: ist m∈ℕ mit gm=1∀g∈G, so teilt der Exponent m. Der Exponent von G teilt |G|.
(3) Was ist der Exponent von ℤ/nℤ(n∈ℕ) und von der Diedergruppe D2n mit 2n Elementen (n>2)?
Meine Ideen:
(1) Da G endlich ist, hat jedes Element endliche Ordnung. Nach einer Satz aus der Vorlesung gilt:gm=1 für ein m, dann ist m=a*ord(g). Also ist der Exponent ein Teiler von der Ordnungen der Elementen, und da er die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist, ist er das kleinste gemeinsame Vielfache.
(2)Aus (1) folgt sofort, dass der Exponent m teilt. Nach Lagrange gilt: ord(g)∣∣G∣ und da der Exponent ein Vielfache der Ordnungen der Elementes ist, teilt der Exponent |G|.
Sind meine 2 Beweise richtig?
Zu (3) habe ich mir überlegt, dass der Exponent von ℤ/nℤ n ist, aber ich weiß nicht wie man das formal zeigt und für die Diedergruppe habe ich leider keine Idee.
Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus

Fesiborlin


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