Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Exponential einer Matrix

Exponential einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

18:49 Uhr, 03.03.2011

Antworten
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Seien a,b,c. Berechnen Sie das Exponential der Matrix
A=(0-cbc0-a-ba0)
Als Tipp steht, man solld en Satz von Cayley-Hamilton verwenden.
Ich hab' zuerst mal des charakteristische Polynom berchnet:
det(-λ-cbc-λ-a-ba-λ)=(-λ)3+(-c)(-a)(-b)+bca-((-b)b(-λ))-(a(-a)(-λ))-((-λ)c(-c))
=-λ3-b2λ-a2λ-c2λ=-λ(λ2+b2+a2+c2)=-λ3-λ(a2+b2+c2)=χA
Der Satz von Cayley Hamilton sagt ja, dass χA(A)=0
Also: -A3-A(a2+b2+c2)=0A3=-A(a2+b2+c2)

Gut, ich kann A3 mithilfe von A ausdrücken, aber wie soll ich die restlichen Potenzen berechnen?
eA=k=0Akk!=I+A+A22+...
Wäre froh um eure Hilfe!
Vielen Dank!!
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
OmegaPirat

OmegaPirat

19:30 Uhr, 03.03.2011

Antworten
Hallo
Du kannst aus der von dir hergeleiteten Beziehungen alle Potenzen herleiten.

Ich nehme mal an, dass du dich nicht verrechnet hast und gehe von dieser Beziehung aus:
A3=-A(a2+b2+c2)

Nun kannst du daraus alle Potenzen mit ungeradem Exponenten berechnen in dem du die Gleichung in mehreren Schritten mit A2 multiplizierst.

A5=-A3(a2+b2+c2)
Auf der rechten Seite setzt du für A3 die Ausgangsgleichung ein=>
A5=A(a2+b2+c2)2
Nun multiplizierst du die Gleichung wieder mit A2 und wiederholst den Schritt

A7=-A(a2+b2+c2)3
usw.
Wenn du dies n-mal durchführst, erhälst du
A3+2n=(-1)n+1A(a2+b2+c2)n+1
mit n0

Man kann in diese explizite Darstellung auch noch den Fall für A1 mit einbeziehen. Dann sieht das so aus:
A2n+1=(-1)nA(a2+b2+c2)n
Damit hast du alle ungeraden potenzen bestimmt
Wenn A invertierbar ist, kannst du auch alle geraden Potenzen berechen. Es sei nun A-1 die inverse Matrix. Dann gilt AA-1=E mit E als Einheitsmatrix. Jetzt multiplizierst du die Ausgangsgleichung mit der inversen Matrix und erhälst
A2=-E(a2+b2+c2)
Damit solltest du ganz analog die geraden Potenzen berechnen können.
Frage beantwortet
Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

20:21 Uhr, 03.03.2011

Antworten
Vielen herzlichen Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen! :-)
Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

14:50 Uhr, 04.03.2011

Antworten
Irgendwie hab' ich jetzt doch noch ein Problem:
Ich muss ja Das Exponential der Matrix berechnen, doch irgendwie bringe ich das nun trotz deiner tollen Tipps nicht hin.
k=0Akk!=E+A-Ea2+b2+c22-Aa2+b2+c23!+E(a2+b2+c)24!+A(a2+b2+c2)25!-...
Gegen was konvergiert das? Wie kann ich das umschreiben? Mir fällt einfach nichts ein, hab' schon versucht E+A auszuklammern etc. aber leider komme ich damit auch nicht viel weiter.
Wäre sehr froh, um Hilfe!! Vielen Dank!
Antwort
OmegaPirat

OmegaPirat

18:14 Uhr, 04.03.2011

Antworten
Hallo
Zerlege dazu die Summe in zwei Teile. Einen in dem E und einen in dem A auftaucht

Es gilt ja
k=0Akk!=Ak=0(-1)k(2k+1)!(a2+b2+c2)k+Ek=0(-1)k(2k)!(a2+b2+c2)k

Der Rest des Problems besteht nun darin die Summen zu berechnen. Man erkennt eine Ähnlichkeit zu den Reihen der Sinus und Kosinusfunktion

sin(x)=k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!
cos(x)=k=0(-1)kx2k(2k)!

Nun versuche ich die Reihen in die Form dieser Kosinus und Sinus reihe zu bringen
Es ist
k=0(-1)k(2k+1)!(a2+b2+c2)k=k=0(-1)k(2k+1)!(a2+b2+c2)2k
=1a2+b2+c2k=0(-1)k(2k+1)!(a2+b2+c2)2k+1
=1a2+b2+c2sin(a2+b2+c2)

Analog verfährst du mit der zweiten Summe und daraus solltest du dann die lösung des problems konstruieren können.
Frage beantwortet
Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.03.2011

Antworten
Vielen herzlichen Dank!! Hast mir auch diesmal wieder sehr geholfen! ;-)