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Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Seien . Berechnen Sie das Exponential der Matrix Als Tipp steht, man solld en Satz von Cayley-Hamilton verwenden. Ich hab' zuerst mal des charakteristische Polynom berchnet: Der Satz von Cayley Hamilton sagt ja, dass Also:
Gut, ich kann mithilfe von A ausdrücken, aber wie soll ich die restlichen Potenzen berechnen? . Wäre froh um eure Hilfe! Vielen Dank!!
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Hallo Du kannst aus der von dir hergeleiteten Beziehungen alle Potenzen herleiten.
Ich nehme mal an, dass du dich nicht verrechnet hast und gehe von dieser Beziehung aus:
Nun kannst du daraus alle Potenzen mit ungeradem Exponenten berechnen in dem du die Gleichung in mehreren Schritten mit multiplizierst. Auf der rechten Seite setzt du für die Ausgangsgleichung ein=> Nun multiplizierst du die Gleichung wieder mit und wiederholst den Schritt usw. Wenn du dies n-mal durchführst, erhälst du mit
Man kann in diese explizite Darstellung auch noch den Fall für mit einbeziehen. Dann sieht das so aus: Damit hast du alle ungeraden potenzen bestimmt Wenn A invertierbar ist, kannst du auch alle geraden Potenzen berechen. Es sei nun die inverse Matrix. Dann gilt mit als Einheitsmatrix. Jetzt multiplizierst du die Ausgangsgleichung mit der inversen Matrix und erhälst Damit solltest du ganz analog die geraden Potenzen berechnen können.
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Vielen herzlichen Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen! :-)
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Irgendwie hab' ich jetzt doch noch ein Problem: Ich muss ja Das Exponential der Matrix berechnen, doch irgendwie bringe ich das nun trotz deiner tollen Tipps nicht hin. . Gegen was konvergiert das? Wie kann ich das umschreiben? Mir fällt einfach nichts ein, hab' schon versucht auszuklammern etc. aber leider komme ich damit auch nicht viel weiter. Wäre sehr froh, um Hilfe!! Vielen Dank!
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Hallo Zerlege dazu die Summe in zwei Teile. Einen in dem und einen in dem A auftaucht
Es gilt ja
Der Rest des Problems besteht nun darin die Summen zu berechnen. Man erkennt eine Ähnlichkeit zu den Reihen der Sinus und Kosinusfunktion
Nun versuche ich die Reihen in die Form dieser Kosinus und Sinus reihe zu bringen Es ist
Analog verfährst du mit der zweiten Summe und daraus solltest du dann die lösung des problems konstruieren können.
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Vielen herzlichen Dank!! Hast mir auch diesmal wieder sehr geholfen! ;-)
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