Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponential- und Logarithmusfunktion

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Bogenlinie, Ewponentialfunktion, Koordinatensystem, Logarithmusfunktion, Parameter, Stammfunktion

Einmalig aktiv_icon

15:38 Uhr, 14.02.2010

Brauch dringend Hilfe bei der Aufgabe. Bitte helft mir!!!
Danke schon mal!

Aufgabe:
Beim Bau einer Brücke mit drei gleichen Toren soll die Bogenlinie im dargestellten Koordinantensystem der Funktionsgleichung

f (x) = ln X + ln (6 - x) + k

genügen, dabei wird das

x

gemessen in

m .

Der Scheitelpunkt eines jeden Bogens soll bei

8,20 m

über dem Talgrund liegen. Die Brücke ist

10 m

hoch und überall

10 m

breibt. (Die Säulen, also die Träger) der Brücke sind jeweils

2 m

breit.

a)

Weisen Sie nach, dass der fehlende Parameter

k

den Wert haben muss.

b)

Wie lang ist die Brücke?

c)

Weisen Sie nach, dass die Funktion

F

mit der Gleichung F(x)=(x-6)*ln(6-x)+x*lnx+4x eine Stammfunktion von

f

ist.

d)

Welche Öffnungsfläche für das Flusswasser hat diese Brücke?
Welches Gewicht hätte die Brücke, wenn sie vollständig aus Stahlbeton (Dichte: 2,7g/cm³) bestehen würde?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion II

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion III

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion durch?

Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Exponentialfunktion?

Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion?

Stammfunktion einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Polynomfunktion?

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion?
Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer Potenzfunktion?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Streckung und Stauchung einer Potenzfunktion

Wie kann man den Graphen einer Potenzfunktion stauchen und strecken?

Welche Rolle spielt der Parameterwert a bei einer Potenzfunktion?

xx1943 aktiv_icon

22:55 Uhr, 14.02.2010

Am besten Du verschaffst Dir zunächst mit einem Funktionsplotter

(z . B

. Geogebra) einen Überblick und fängst dann einfach an.

Die drei Funktionen haben die Gleichungen:

f (x) = ln (x) + ln (6 - x) + 6

g (x) = f (x - 6) d . h

f

um 6 nach rechts verschoben

h (x) = g (x - 6) d . h

g

um 6 nach rechts verschoben

Ich helfe Dir gerne, wenn Du nicht weiterkommst, aber die Arbeit musst Du selbst leisten. LOL

Einmalig aktiv_icon

15:50 Uhr, 15.02.2010

Danke für deine Hilfe.
Aber kann dass denn richtig sein, wenn die Pfeiler der Brücke eine Breite von

2 m

haben?

xx1943 aktiv_icon

17:34 Uhr, 15.02.2010

Da hast Du recht, das hatte ich überlesen.
Das ändert aber nix daran, dass

k = 6

sein muss.
Neue Zeichnung anbei
Die Gleichungen der Funktionen sind:

f (x) = ln (x) + ln (6 - x) + 6

wie vorher

g (x) = f (x - 8)

h (x) = g (x - 8)

x = 22

y = 10

Fang doch mal an zu rechnen

a)

Bestimme

k,

so dass das Maximum den Wert

8,2

hat. Ableitung

= 0 ... ...

. etc

b)

Länge

= 3 \cdot 6 + 2 \cdot 2 = 22

wobei Du die 6 aus den Eigenschaften von

f

begründen musst
oder wenn Du auch am Rand die Pfeiler mitrechnest:

3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 26

sihe 2. Zeichnung

c)

Die Ableitung von

F

muss

f

sein

... ... ... ...

... ... ... ... . .

.

usw.

Poste doch mal bitte Deine Lösung, soweit Du sie hast

Einmalig aktiv_icon

18:46 Uhr, 15.02.2010

Würde ich wissen wie mans rechnet (trotz deiner tollen Erklärung)

dann würde ich es super gerne posten.

aber ich bin ein hoffnungsloser fall was mathe betrift.

vielleicht fall ich wegen mathe durch...:S

xx1943 aktiv_icon

21:25 Uhr, 15.02.2010

Also fangen wir gemeinsam an, wenn ich Dir die komplette Rechnung vorkaue und Du sie einfach abschreibst, hast Du gar nix davon.

a)

Gesucht ist

k

so, dass das Maximum der Funktion

f : y = f (x) = ln (x) + ln (6 - x) + k

den

y -

wert

8,2

hat

Um den x-Wert des Maximums zu finden, muss man die 1. Ableitung von

f

bilden und gleich 0 setzen

f

ist die Summe aus 2 ln-Funktionen und einen konstantem Faktor.
Eine Summe wird abgeleitet (differenziert) indem man jeden Summanden ableitet
Die Ableitung von

ln (x)

weißt Du oder kannst Du nachsehen.
Bei

ln (6 - x)

musst Du entsprechend der Kettenregel nachdifferenzieren.
Die Ableitung der Konstanten ist gleich 0.

Nun solltest Du

f' (x) = ... ... ... ... ... .

. bilden können.

Einmalig aktiv_icon

16:46 Uhr, 16.02.2010

VIELEN DANK FÜR DEINE HILFE
jetzt ist mir ein licht aufgegangen und ich konnte nicht aufhören zu rechnen
hehe
also

a)

hab ich jetzt so gerechnet:
f(x)=lnx+ln(6-x)+k

f

(x) = \frac{1}{x} + (- \frac{1}{6} - x)

0 = \frac{1}{x} + (- \frac{1}{6} - x)

0 = 6 - x - x

0 = 6 - 2 x

3 = x

Bestiimmung von

k :

8,2 = ln 3 + ln (6 - 3) + k

k=8,2-2ln3

K = 6

b)

3 \cdot 6 + 2 \cdot 2 = 22 m

(die Pfeiler am Rand sollen nicht mitgezählt werden)

c)

f(x)=(6-x)*ln(6-x)+x*lnx+4x
f´(x)= ln(6-x)+(x-6)*(-1/6-x)+lnx+x*(1/x)+4x
= ln(6-x)+1+lnx+1+4
und für

d)

man muss zuerst doch die Integrationsgrenzen bestimme:
lnx+ln(6-x)+6=0

/ - 6

lnx+ln(6-x)=

- 6

ln (x \cdot (6 - x)) = - 6

/"Entlog."
6x-x²=e^-6 /null setzen
x²-6x+e^-6=0 /pq Formel

x 1 = 0,0004

X 2 = 5,9996

Und dann einfach die Flächen berechnen
Unter der Brücke:

136,5

m³
Die Brücke : 83,5m³

\to 2254,5

Tonnen

xx1943 aktiv_icon

05:54 Uhr, 17.02.2010

Bravo. Ich rechne das jetzt nicht alles nach.
Wichtig ist, dass Du das Problem verstanden hast.
Nun wirst Du auch der Besprechung in der Schule gut folgen können.

bei Deiner Lösung zu

c)

sind mir ein paar Ungenauigkeiten aufgefallen:

1)

Die Funktion heißt

F (x) = (x - 6) ln (6 - x) ... .

. nicht

(6 - x) ln (6 - x)

denn dann käme bei der Produktregel ein Minuszeichen vor

ln (6 - x)

2)

Die Öffnungsfläche für das Flußwasser kann nicht die Einheit

m^{3}

haben.

3)

Du hast vergessen die Vorderfläche der Brücke mit der Breite zu multiplizieren.

Ein weiterer Tipp: Besorg Dir, falls Du es nicht schon längst getan hast, das Programm GeoGebra. Das Programm ist open source und hervorragend geeignet sich schnell einen Überblick über eine komplizierte Funktion oder auch schwierige geometrische Zusammenhänge zu machen.

Hier der Link: www.geogebra.org/cms

Schließ bitte diesen Thread, wenn Du keine weiteren Fragen hast.

Einmalig aktiv_icon

15:10 Uhr, 17.02.2010

Vielen Dank nochmal!
Das waren nur Tippfehler.
Naja wenn Sie mich schon so fragen....ich hätte da schon noch eine Frage

\land

Also bei der integration durch Substitution
wenn mann diese Aufgabe so rechnet...:

[

sin(x²)]'

\int

.2x*cos(x²)dx=sin(x²)+C (z=x²)

z'coszdx=

\int

.cosdz = sinz+C = sin(x²)+C

Wie macht man das den mit dieser Aufgabe:

[

lnx/x]'

\to

\int

.lnx/x

d x = ...

.

könnten Sie mir den Rechenweg aufschreiben, nicht nur die Lösung!
Wäre echt nett.

MFG
Lisa

funke_61 aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.02.2010

Hallo Lisa,

na dann probier ich es mal, Dir das zu erkären, obwohl es eigentlich ein neuer thread wäre:

\int \frac{ln (x)}{x} d x

substituiere

ln (x) = z

und leite

z

" nach

x

ab. Das schreibt man hier am besten so:

\frac{d z}{d x}

weil man die Differenziale später noch brauchen kann (siehe unten).

z = ln x \Rightarrow

\frac{d z}{d x} = \frac{d}{d x} ln (x) = (ln x)'

\frac{d z}{d x} = \frac{1}{x}

(Du kannst in Deiner Formelsammlung nachlesen, dass die Ableitung von

ln x \Rightarrow \frac{1}{x}

ist).
Jetzt so umstellen, wie Du es in deinem Integral brauchst, nämlich:

d x = x d z

So, jetzt schauen wir uns mal das substituierte Integral an, wenn wir nur

ln (x) = z

einsetzen:

\Rightarrow \int \frac{z}{x} d x

jetzt setzen wir noch

d x = x d z

ein:

\Rightarrow \int \frac{z}{x} \cdot x d z

und siehe da: das

x

lässt sich wegkürzen zu:

\Rightarrow \int z d z

kommst Du jetzt weiter?

lg josef

xx1943 aktiv_icon

16:04 Uhr, 17.02.2010

Hallo Aida,

Josef hat Recht. Es ist besser diesen thread zu schließen und für die Integration einen neuen anzufangen.
Meine letzte Frage bezog sich darauf, ob mit den Torbogen noch etwas unklar ist.

Einmalig aktiv_icon

18:16 Uhr, 17.02.2010

DAnke Josef!!!

ja ihr habt schon recht...mach ich denn beim nächsten mal :-D)

schönen abend euch!! :-D)

724732

722920

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?