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Exponentialfunktion

Schüler

Tags: für welchen Wert von"n" ist der Wert der Potenzfunktion...

Danisun07 aktiv_icon

21:41 Uhr, 18.10.2019

Hallo liebe Mathe Profis,
Ich mache gerade eine Ausbildung zum Mechatroniker-Meister und steht nun vor einem Problem. Ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:

Vergewissere dich hinsichtlich des schnellen Wachstums von Exponentialfunktionen

y = {1,01}^{x}

(x = 10; 100; 1000; 10000; 1000000;)

y = x^{n}

für welchen Wert von "n" ist der Wert der Potenzfunktion an den jeweiligen Stellen noch größer als der Wert der Exponentialfunktion?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Danke schon im vorraus

Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

00:10 Uhr, 19.10.2019

Hallo
Ich hoffe, du hast dir klar gemacht:

y_{e} = {1,01}^{x}

das ist die Exponentialfunktion,
und

y_{p} = x^{n}

das ist die Potenzfunktion.

(Ich finde es übrigens seitens der Aufgabenstellung für ungeschickt, beiden den gleichen Bezeichner "y" zu geben. Denn die beiden sind ja offensichtlich nicht gleich. Dann ist es verwirrend und missverständlich, zwei verschieden Dingen den gleichen Namen zu geben.)

Jetzt wird es am leichtesten sein, die Aufgabenstellung ein wenig abzuwandlen.
Für welchen Wert von "n" ist der Wert der Potenzfunktion an den Stellen

(x = 10; 100; 1000; 10000; 1000000)

gleich?

Nun, wenn sie gleich sein sollen, dann wird es sich doch empfehle, die beiden mal gleich zu setzen, und das zugehörige "n" auszurechnen...

Viel Spaß!

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05:25 Uhr, 19.10.2019

{1,01}^{x} = x^{1,01}

Diese Gleichung kann man nicnt nach

x

auflösen. Man benötigt ein Näherungsverfahren oder eine grafische Lösung.

x = 658,805 - \to n = 658

www.wolframalpha.com/input/?i=1.01%5Ex%3Dx%5E1.01

anonymous

08:51 Uhr, 19.10.2019

Lass dich von Supporter nicht verwirren. Er hat falsch geschielt und abgeschrieben. Die Potenzfunktion heißt ja nicht

x^{1,01},

sondern

x^{n}

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09:38 Uhr, 19.10.2019

Ich habe bewusst

n

in der Gleichung nicht verwendet, weil das wenig Sinn macht.
Ein Rechner könnte sie nicht lösen.
Die Gleichung enthielte 2 Unbekannte.

www.wolframalpha.com/input/?i=1.01%5Ex+%3D+x%5En++find+n

Danisun07 aktiv_icon

09:58 Uhr, 19.10.2019

Danke für eure hilfen,

also wenn ich das richtig verstehe setze ich die Aufgabe gleich, das heißt:

{1,01}^{10} = 10^{n}

und löse diese mittels dem Logarythmus auf
lg1,10462213/lg10=0,0432137=n

x 1 = 10

x 2 = 100

x 3 = 1000

x 4 = 10000

x 5 = 1000000

kann das so stimmen?

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10:20 Uhr, 19.10.2019

Es geht um diese Gleichung:

{1,01}^{x} = x^{n}

x \cdot l n 1,01 = n \cdot ln x

n = \frac{x \cdot ln 1,01}{l n x}

x

muss vorgegeben werden.

rundblick aktiv_icon

11:13 Uhr, 19.10.2019

.
"für welchen Wert von "n" ist der Wert der Potenzfunktion

y_{1} = x^{n}

an den jeweiligen Stellen

x

noch
größer als der Wert der Exponentialfunktion

y_{2} = {1,01}^{x}

\to

das ist wohl so gedacht:

für die genannten Beispielstellen

\to x = . ., . ., . ., .

. soll herausgefunden werden,
- wie Danisun07 es richtig überlegt -
wie gross muss

\to n

(mindestens) gewählt werden ,
so dass an diesen x-Stellen

\to x^{n} \to

gerade noch-> grösser ist als

{1,01}^{x} .

.
(supporter: nicht gleich!!.. und -siehe oben,

00 : 10

Uhr,

19.10.2019 - :

auch nicht 11en-gleich ..
KLARTEXT: Es geht hier NICHT um eine Gleichung

!!)

und auch da ist der Weg von Danisun07 gut: die

\to

Logarithmen zu vergleichen
(da ja lg(b)

>

lg(a) ..wenn

b > a > 0) .

.
(supporter: hier mal nicht

ln

sondern vorteilhafter lg ..betrachte die gegebenen x-Werte ..:-)..)

lg(y_1)=

n \cdot

x ... ... ... .

. und

... ... .

. lg(y_2)=

x \cdot

lg(1,01)

= x \cdot 0,00432137 . .

.

also nun zB, falls

n \in ℕ :

bei

x = 10^{2} \Rightarrow n \cdot 2 > 0,4 .

\Rightarrow n = 1

bei

x = 10^{4} \Rightarrow n \cdot 4 > 43,2 .

\Rightarrow n = 11

bei

x = 10^{6} \Rightarrow n \cdot 6 > 4321 ... \Rightarrow n = 721

usw..
und alles dann jeweils noch mit einem schönen Antwortsatz..

Frage

\to

schon im Voraus ( :-)

) :

alles klar?
.

anonymous

21:30 Uhr, 19.10.2019

@Danisun07

n =

lg(1,01^10)/lg(10)

= 0,0432137

"kann das so stimmen?"
Wenn du noch einen Ergebnissatz dazu formulierst, dann kann das sehr gut stimmen.

Bedenke:
Für das Beispiel

x_{1} = 10

und

n =

lg(1,01^10)/lg(10)

= 0,0432137

sind die Potenzfunktion und Exponentialfunktion

(\in

abgewandelter Form) eben

- -

GLEICH

- -

.

Und jetzt dürftest du dir noch überlegen und die originale Aufgabe beantworten:
"für welchen Wert von "n" ist der Wert der Potenzfunktion an den jeweiligen Stellen noch größer als der Wert der Exponentialfunktion?"

rundblick aktiv_icon

10:30 Uhr, 20.10.2019

.
"sind die Potenzfunktion und Exponentialfunktion (∈ abgewandelter Form) eben

- -

GLEICH --."

na sowas.. was ist denn deren "abgewandelte" Form ?
und : die FUNKTIONEN sind doch auch "abgewandelt?" nicht GLEICH ? .. gleich könnten hier höchstens
die Funktionswerte an bestimmten Stellen

x

sein ..

und nebenbei 11engleich :
weiss deine Grossmutter, dass du mit ihrem Bild hier heimlich herumschleichst?

\to

Tipp: grüner Punkt →
Mein Bereich → Privatsphäre → Wer darf meinen online-Status sehen? ⇒ Alle

< -

anklicken !
.

anonymous

11:37 Uhr, 20.10.2019

@rundblick
Auf die Gefahr hin, dass wir uns in nicht-sachdienlichen Kleinigkeiten verirren:
Lies dir doch bitte nochmals meine ursprüngliche Antwort von

19 - 10 - 1900 : 10 h

durch...

Danisun07 aktiv_icon

21:28 Uhr, 21.10.2019

Danke für eure Hilfe

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