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Exponentialfunktion
Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe
Tags: Exponenten
 
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Hallo Leute, hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiss wie ich anfangen soll geschweige denn wie sie überhaupt zu bewältigen ist! Für t hab ich die Zahl 12 zugewiesen bekommen mit der ich das ganze errechnen soll. Vielen Dank für jede mögliche Hilfe! In der Entwicklungsabteilung einer Ventilefabrik werden verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter befinden sich zu Beginn 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw. -abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt. Zunächst ist nur ein Ventil geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben durch: V ´(t) = 0,6 e^(-0,01 t); (t in Minuten, V ´(t) in Liter pro Minute) a) Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter und mit welchem Volumen ist längfristig zu rechnen? b) Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die doppelte Wassermenge wie zu Beginn? c) Wenn der Wasserbehälter 100 Liter enthält, wird auch das zweite Ventil geöffnet, so dass die gesamte Volumenänderung beschrieben wird duch: V* ´(t) = -0,9 e^(0,05 t). => Wie lange dauert das es, bis der Wasserbehälter leer ist? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Zitat: Hallo Leute, hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiss wie ich anfangen soll geschweige denn wie sie überhaupt zu bewältigen ist! Für t hab ich die Zahl 12 zugewiesen bekommen mit der ich das ganze errechnen soll. Vielen Dank für jede mögliche Hilfe! In der Entwicklungsabteilung einer Ventilefabrik werden verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter befinden sich zu Beginn 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw. -abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt. Zunächst ist nur ein Ventil geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben durch: V ´(t) = 0,6 e^(-0,01 t); (t in Minuten, V ´(t) in Liter pro Minute) a) Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter und mit welchem Volumen ist längfristig zu rechnen? b) Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die doppelte Wassermenge wie zu Beginn? c) Wenn der Wasserbehälter 100 Liter enthält, wird auch das zweite Ventil geöffnet, so dass die gesamte Volumenänderung beschrieben wird duch: V* ´(t) = -0,9 e^(0,05 t). => Wie lange dauert das es, bis der Wasserbehälter leer ist? V' gibt die Änderung des Wasservolumens in l/min. an. Die Stammfunktion V gibt dann die Wassermenge in l an. Zusammenhang mit dem Integral: Dabei ist V(t) das Volumen zum Zeitpunkt t, und V(0) das Volumen zu Beginn, also 50 l, somit:
bzw. Das Integral knackst du so: Stammfunktion von V ' ist -60*e^(-0,01x). Somit gilt:
zu a) setze jetzt einfach t = 12 min ein, und du hast das Volumen nach 12 min. Öffnungszeit des Ventils. Für eine Stunde halt t = 60 nehmen. Langfristig bedeutet Grenzwert für t gegen unendlich, und der wird offenbar 110.
zu b) Löse die Gleichung V(t) = 100 nach t auf. Das liefert ca. t = 179 min.
zu c) geht analog zu a) und b). Nur ist jetzt V*(0) = 100 und der Endwert eben V*(t) =0. Ansonsten kannst du V*(t) mit der entsprechenden Stammfunktion und dem Integral bestimmen. V*(x) = -18*e^(0,05x)
Die Zeit müsste etwa 37,6 min sein.
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Hallo, was die Zuweisung t = 12 soll weiß ich nicht, denn das passt nicht zu den Aufgabenstellungen. Ich werde die Angabe also zuerst einmal unberücksichtigt lassen. Zu a) Da die angegebene Funktion die Zuflussgeschwindigkeit angibt, erhältst du die zugeflossene Menge, indem du das Integral bildest. Du musst also das Integral von 0 bis 60 (da t in Minuten angegeben ist) bestimmen und dann die schon im Behälter sich befindende Menge (50 Liter dazuzählen). zu b) Du musst berechnen, für welche oberere Grenze u das Integral von 0 bis u den Wert 50 ergibt. Dann sind 50 Liter dazugeflossen und es befindet sich die doppelte Menge im Behälter. zu c) Wie zuvor bei b), nur dass jetzt die andere Funktion genommen werden muss und das Integral den Wert 100 haben muss. Grüße |
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kleinere Tippfehler überarbeitet ;-) |
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| hm ich hab jetzt eine stunde lang rumprobiert aber komm nicht wirklich zurecht. eure hinweise haben mich zwar in eine richtung geführt , nur fühl ich mich immernoch verloren. das ganze mit dem integral ist mir noch so fremd. klar hab ich das schonmal gemacht, nur kann ich es nicht mehr vernünftig anwenden :( ich komm einfach nicht zu einem richtigen ansatz. |
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Zitat: hm ich hab jetzt eine stunde lang rumprobiert aber komm nicht wirklich zurecht. eure hinweise haben mich zwar in eine richtung geführt , nur fühl ich mich immernoch verloren. das ganze mit dem integral ist mir noch so fremd. klar hab ich das schonmal gemacht, nur kann ich es nicht mehr vernünftig anwenden :( ich komm einfach nicht zu einem richtigen ansatz. Äääähhhmmmmmm. Die Lösung steht doch bereits da-. Zumindest für a) sogar ziemlich ausführlich. Wieso fehlt dir dann "der Ansatz"? |
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hmmm hab ich so als lösung nicht erkannt :P ich tu mich da einfach ziemlich schwer mit der aufgabe. kA wieso :( |
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Dann schau dir noch mal ganz in Ruhe den Weg zu a) an.
Die benutzte Beziehung (Hauptsatz der D. und I. rechnzung) V(x)-(V(0) = "Integral von 0 bis x V '(x) dx" sollte dir doch geläufig sein, und beruht auf der Tatsache, dass das Integral quasi der Gesamteffekt (also Volumenzunahme in l) aller Änderungen (l/min) über den Zeitraum 0 bis t ist. Und die Stammfunktion zu -0,6*e^(-0,01x) bekommst du durch Substitution oder geschicktes Umformen. |
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Hier stell ich nochmal die komplette Lösung zur Verfügung! a) V(0) =50 -60+c=50 c=1110 V(t)=-60*e^-0,01t+110 V(60)=77 b) -60*e^-0,01t+110=100 -60*e^-0,01t=-10 e^-0,01t=1/6 -0,01t=-1,79 t=179 c) V*(t)=-18*e^0,05t+118=o -18*e^0,05t=-118 e^0,05t=6,55 0,05t=1,88 t=37,6 |
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