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Exponentialfunktion mit zwei variablen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Variabeln

ste13 aktiv_icon

17:51 Uhr, 15.08.2010

Huhu,

ich habe ein Probelm mit einer Aufgabe aus dem Matheunterricht.

Folgendes:

2 Gleichungen die das Wachstum einer Sonnenblume beschreiben.

h 1 (t) = o, o 8 \cdot e^{k} \cdot t; k

element aus IR

So man soll die Konstate

k

bestimmen. Nach 5 Wochen is die Sonnenblume

0,52 m

gewachsen.

Hier kam ich auf das Ergebniss

k = 0,3744

Nun soll man die Höhe der Sonnenblume nach 8 Wochen berechnen. Hier kam ich auf den Wert

h 1 (8) = 1,6 m

So und nun zu meiner eigentlichen Frage. Die Aufgabe lautet:
"Die Sonnenblume ist nach 8 Wochen tatsächlich erst

1,2 m

hoch. Die Höhe wird deshalb für

t

größer/gleich 5 modellhast beschrieben durch die funktion

h 2

mit"

h 2 (t) = a - b \cdot e^{- 0,5} \cdot t; a, b

element aus IR

Aufgabe ist es

a - b

aus den beobachteten Höhen für 5 und 8 Wochen zu bestimmen.
Hier komme ich nich weiter...
Ich habe versucht die Gleichung nach a bzw.

b

umzustellen indem ich für

t = 8

eingesetzt hab und für

h 2 (8) = 1,2 m

ich kam auf

a = 1,2 + b \cdot e^{- 0,5} \cdot 8

setzte für a ein

1,2 + b \cdot e^{- 0,5} \cdot 8 - b \cdot e^{- 0,5} \cdot 8 = 1,2 m

.
Dabei kam heraus das

b = 65,517

ist.
Ich setzte den Wert für

b

in die Ausgangsgleichung ein und stellte nach a um und kam auf den Wert

a = 2,4 .

Da ich nun noch sagen soll welche Höhe langfristig erwartet wird ließ ich die Funktion zeichnen, sah aber das die Werte nur im negativen Bereich lagen.

Solangsam verweifle ich daran weil mir nichts mehr einfällt. Hoffe euch fällt dazu was ein.

PS: Nach dem

e

sind die zahlen immer hochgestellt

. .

. wusste nich wie man das macht :-)

Danke euch schonma Steffen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Astor aktiv_icon

18:04 Uhr, 15.08.2010

Hallo,
man findet doch di beiden Gleichungen für 5 Wochen und für 8 Wochen.

1

a - b e^{- 0, 5 * 5} = 0, 52

a - b e^{- 0, 5 * 8} = 1, 2

Dann würde ich von der 2. Gleichung die 1. Gleichung abziehen.

Dann hat man:

b * e^{- \frac{5}{2}} - b e^{- 4} = 1, 2 - 0, 52

Daraus lässt sich b bestimmen.

Ich finde

b = 10, 66

Danach findet man auch a.

Gruß Astor

ste13 aktiv_icon

18:45 Uhr, 15.08.2010

also danke schonma

aber könntest du den ersten teil der gleichung b*e-52-be-4=1,2-0,52

nochmal anders aufschreiben? ich verstehe nich was das e-52-be-4 sein soll bzw was es genau heißt

danke

michael777 aktiv_icon

19:10 Uhr, 15.08.2010

wird bei dir

- 52

als Hochzahl von

e

angezeigt? das sollte

- \frac{5}{2}

sein
Falls du den Internet Explorter ohne Mathplayer benutzt, wird das nicht richtig angezeigt
siehe Hilfe www.onlinemathe.de/hilfe/software

ich schreibe mal die obere Gleichung mit Dezimalzahlen statt Brüchen:

b \cdot e^{- 2.5} - b e^{- 4} = 1.2 - 0.52

b = \frac{1.2 - 0.52}{e^{- 2,5} - e^{- 4}} = \frac{0,68}{0,0638} = 10,663

ste13 aktiv_icon

20:04 Uhr, 15.08.2010

joa danke auch dafür

nur also ich habe a nun berechnet kam auf

a = 1,39529

so nun setze ich die werte ein und lass mir den graphen zeichnen damit ich den grenzwert herausfinde.
problem dabei ist das der graph gegen 0 läuft.

michael777 aktiv_icon

20:09 Uhr, 15.08.2010

jede

e^{- t}

Funktion läuft für große

t

gegen 0

aber gegen null geht nur das was abgezogen wird, der Grenzwert der ganzen Funktion ist

a = 1,4

h_{2} (t) = 1,4 - 10,66 \cdot e^{- 0,5 \cdot t}

hast du die Gleiche Funktion?

ste13 aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.08.2010

also bei mir auf dem taschenrechner läuft die funktion

e

(hoch)-x in richtung unendlich gegen 0.

ste13 aktiv_icon

20:19 Uhr, 15.08.2010

ja die funktion habe ich!

michael777 aktiv_icon

20:19 Uhr, 15.08.2010

das ist auch richtig, aber da fehlt doch noch was
die Funktion

h_{2}

habe ich oben angegeben

ste13 aktiv_icon

20:20 Uhr, 15.08.2010

weiß gerade nich was du damit meinst

h2(t)=1,4-10,66⋅e-0,5⋅t und was fehlt jetzt noch?

michael777 aktiv_icon

20:22 Uhr, 15.08.2010

h_{2} (t) = 1,4 - 10,7 \cdot e^{- 0,5 t}

für

t

gegen

\infty

geht

e^{- 0,5 t}

gegen 0
also das, was abgezogen wird geht gegen null

der Grenzwert von

h_{2}

für

t

gegen

\infty

ist deshalb

1,4

ste13 aktiv_icon

20:24 Uhr, 15.08.2010

ahja klar, ich habs verstanden... hab das produkt ganz übersehen^^ naja vielen dank dir!!! super geholfen

aber im ernst also auf den schritt am anfang auf das abziehen der gleichungen wäre ich so nich gekommen

michael777 aktiv_icon

20:24 Uhr, 15.08.2010

hast du beim Eingeben der Funktion einen Fehler gemacht?

z . B

. die Klammern bei der Hochzahl vergessen?

e

hoch

(- 0,5 \cdot t)

ste13 aktiv_icon

20:27 Uhr, 15.08.2010

oh mein gott... mein taschenrechner hatte die punkt vor strich regel ausgeschaltet... mit klammern um das produkt geht alles wie gesagt!!! top danke dafür

also wenn du kannst und zeit und lust hast kannste mir noch erklären wie man darauf kommt die beiden gleichungen zum subtrahieren.

michael777 aktiv_icon

20:30 Uhr, 15.08.2010

du hast zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten

das Additions- (bzw. Subtraktions-)verfahren ist eine Möglichkeit, es gibt noch das Einsetz- und Gleichsetzverfahren

du hättest auch die eine Gleichung nach a auflösen können und in der zweiten Gleichung das a dadurch ersetzen können. Die neue Gleichung hat dann nur noch eine Unbekannte und lässt sich lösen.

ste13 aktiv_icon

20:45 Uhr, 15.08.2010

mit der einsatz methode hab ich es versucht und hatte für

a = 1,2 + b \cdot e - 0,5 \cdot 8

hab das eingesetzt kam dann aber auf andere ergebnisse... wahrscheinlich weil mein taschenrechner einfach die multiplikationen nich vorgezogen hat und die additionen und subtraktionen zuerst gelöst hat.

pleindespoir aktiv_icon

08:34 Uhr, 17.08.2010

de.wikipedia.org/wiki/Taschenrechner

siehe dort : "Eingabelogik"

Notfalls hilft auch das Lesen der Bedienungsanleitung des Gerätes...

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