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Exponentialfunktionen: Kettenlinie
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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Moin. Ich bin neu in diesem Forum aber ich sitze nun seit einer Stunden an dieser Aufgabe und komm einfach nicht weiter. Bevor ich die Aufgabe hier rein stelle muss ich sagen, dass meine Stufe mit einem Grafiktaschenrechner arbeitet. Ich glaube das ist nicht selbstverständlich. So folgende Aufgabe haben wir(Mathe Grundkurs S2 12 Klasse) nun bekommen und sollen sie bis Freitag bearbeiten. Die Aufgabe ist Neuland für uns und darum auch nicht einfach für mich. Aufgabe: Das Seil einer Hängebrücke mit 200m Breite kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der Funktion f a;c mit fa;c(x)=a/2cx(e^cx+e^-cx) mit a, c > 0, xinMetern, y in Metern. a) Untersuchen Sie den Graphen von fa;c auf Symmetrie -> Hier habe ich einfach für a eins eingesetzt und für b 2 und dann mit dem Taschenrecher gezeichnet. Da konnte ich da sehen, dass der Graph achsensymmetisch zur y-achse ist. Frage: Wie zeige ich das rechnerisch auf dem Papier? b) Berechnen SIe das Minimum der Funktion fa;c -> Das habe ich auch hinbekommen. Wieder einfach 1 und 2 eingesetzt, abgeleitet und die Ableitung dann gleuch 0 gesetzt. Frage: Ist das Ergebnis so korrekt, da ich mir für a und c ja einen Wert ausgedacht habe. Nun kommen wir zum haarigen Teil. c) Bestimmen sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind. d) Welches Gefälle in % haben die Seile in den Aufhängepunkten? e) An welcher Strecke befindet sich das Seil ca. 15m über der Fahrbahn? f) Auf welcher Strecke könnte ein Stuntman das Seil mit einem Motorrad befahren, wenn er noch eine Steigung von 20% bewältigen kann. Viele Dank schonmal im vorraus. |
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Hallo! ZUr Symmetrie ist zu zeigen: Gilt f(-x) = f(x) dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse Gilt -f(-x) = f(x) dann ist Funktion punktsymmetrisch. Wie lautet deine Funktion richtig? Steht 2cx alles im Nenner oder nur die 2? cx und -cx steht jeweils beides im Exponenten, oder? Also würde meiner Meinung nach die Funktion lauten: fa;c(x)=a/(2cx)*(e^(cx) +e^(-cx)) Stimmt das so? Dann ist f(-x) = a/(-2cx)*(e^(-cx) + e^(cx)) ungleich f(x), also nicht achsensymmetrisch -f(-x) = a/(2cx)*(e^(-cx) + e^(cx)) = f(x) Das heißt die Funktion wäre punktsymmetrisch...im Gegensatz zu deiner gezeichneten Funktion... Also, wie lautet die Funktion richtig? |
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Ich habe die Funktion leider missverständlich dargestellt. So ist sie besser: f_(a,c)(x) = a/2c*(e^(cx)+e^(-cx)) Sorry Guys |
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so |
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erstmal eine frage zur funktion kann es sein, dass du ein x zuviel hast und zwar sollte die kettenlinie eher aussehen wie fa;c(x)=a/2c(e^(cx)+e^-(cx)) und nicht fa;c(x)=a/2cx(e^cx+e^-cx) ich rechne mit ersterer funktion weiter zu a) für eine zur y-achse symmetrische funktion gilt ganz allgemein f(x)=f(-x) du musst nur zeigen, dass das erfüllt ist f(x)=a/2c(e^(cx)+e^-(cx)) f(-x)=a/2c*(e^(-cx)+e^(cx))=a/2c*(e^(cx))+e^(-cx))=f(-x) also ist die funktion eindeutig achsensymmetrisch zu b die vorgehensweise ist richtig. du kannst auch erstmal das allgemein mit a und c ableiten und anschließend irgendwas einsetzen. a und c musst du dann einfach wie normale konstanten behandeln aber eigentlich folgt aus der symmetrie zur y-achse schon, dass bei x=0 ein minimum vorliegt zu c der tiefste punkt ist dort wo du das minimum ermittelt hast wahrscheinlich bei x=0 du setzt einfach in die funktion für x 0 ein und für y eine 5, da der punkt schließlich 5m über dem abgrund sein soll die zweite bedingung heißt anders formuliert, dass die funktion durch den punkt P(200|30) laufen soll. also setzt du diesen punkt in die funktion ein du soltlest ein zweizeiliges gleichungssystem erhalten, welches es zu lösen gilt. zu d da musst du nur über die ableitung die steigung an den jeweiligen stellen berechnen. den prozentwert bekommst du leicht dort heraus zu e einfach y=15 einsetzen und nach x auflösen zu f einfach für die ableitung f'(x)=0,2 einsetzen und anschließend nach x auflösen abschließend frag ich mich, ob die hängebrücke als linienlast wirkt, weil dann wäre es keine kosinushyperbolicusfunktion, sonder eine parabel normalerweise beschreibt ein frei hängendes seil nur den cosh, sofern man die festigkeitslehre außenvor lässt, wenn an dem seil keine last hängt und bei einer homogen verteilten linienlast, wäre es eine parabel jedenfalls, wenn ich es ausrechne bekomm ich das so raus |
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Ah, das x sollte ein Malzeichen sein...:-) OK, also nochmal von vorne: f_(a,c)(x) = a/(2c)*(e^(cx)+e^(-cx)) Grundsätzlich gilt, dass wenn keine speziellen Werte für a und c angegeben sind, du sie einfach als Faktoren stehen lässt und ganz normal Nullstellen, Ableitungen, etc. berechnen kannst. a) Untersuchen Sie den Graphen von fa;c auf Symmetrie Gilt f(-x) = f(x) dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse Gilt -f(-x) = f(x) dann ist Funktion punktsymmetrisch. Berechne also f(-x) d.h. setze statt x ein -x in deine Formel ein: f(-x) = a/(2c)^*(e^(-cx) + e^(cx)) Wenn du dir die Funktion anschaust, ist sie genau dieselbe wie f(x), wenn du hinten die Summanden vertauschst, was man ja darf) Es gilt also: f(-x) = f(x) die Funktion ist also achsensymmetrisch. Das gilt allgemein für alle a und c, d.h. die Symmetrie ist nicht davon abhängig, was du für a und c einsetzt. b) Berechnen SIe das Minimum der Funktion fa;c Hier musst du auch allgemein ableiten und die Vorfaktoren stehenlassen. Wenn du bestimmte Werte einsetzt, bekommst da ja das Minimum für diese bestimmte Funktion raus... f'(x) = a/2*(e^(cx)-e^(-cx)) = 0 e^(cx) = e^(-cx) cx = -cx nur erfüllt für c = 0 oder x = 0 Da c > 0 vorrausgesetzt wurde, gilt also: x = 0 Überprüfen mit zweiter Ableitung liefert (bitte nachrechnen!), dass f''(0) >0, es liegt also ein Minimum vor. der x-Wert des Minimums ist von a und c unabhängig (x = 0), der y-Wert hängt jedoch davon ab: f(0) = a/(2c)*(e^0 + e^0) = a/c Also liegt ein Minimum vor bei (0| a/c) c) Bestimmen sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind. hier gebe ich mal Tipps, rechnen darfst du selber: bei allen Funktionen liegt der tiefste Punkt bei x = 0 in diesem speziellen Fall soll der y-Wert 5 sein. Das ergibt eine Bedingung für a und c Außerdem hast du einen speziellen Punkt (x|y) der Kurve angegeben (eigentlich sogar zwei, einen positiven und einen negativen, aber die Funktion ist ja achsensymmetrisch) Wenn du diesen Punkt in f(x) einsetzt, erhältst du eine weitere Bedingung für a und c. Benutze beide Bedingungen (z.B. durch ersetzen) um a und c zu berechnen. Und? klappt's? Wenn du bis hierhin alles geschafft hast, kommen d)... an die Reihe :-) |
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| bei c) ist fermat ein kleiner Fehler unterlaufen. Die Punkte sollen den Abstand 200 haben, d.h. die Punkte liegen bei (100|30) und (-100|30) |
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achja wegen der symmetrie bei x=0 danke für den hinweis |
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Irgendwie bekomm ich das mit dem GLS nicht hin. Der spuckt mir nur scheiße aus. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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