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Exponentialgleichung - Frage wegen Potenz?

Schüler Realschule,

Tags: Exponentialgleichung

Lars94 aktiv_icon

19:19 Uhr, 10.05.2014

Heyho,

ich lerne gerade im Mathe Buch.

Habe mal schnell mit dem Handy ein Bild der Aufgabe und Lösung gemacht und es hier hoch geladen.

Verstehe das was beim ausklammern nicht.

e^{- x}

ausklammern ist logisch. In der Klammer steht dann

(4 - 2 e

hoch

2 x)

Wenn ich mit

e^{- x}

den letzten Term in der Klammer multipliziere dann muss doch

4 - 2 e

hoch

- 2 x

raus kommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

supporter aktiv_icon

19:23 Uhr, 10.05.2014

e^{- x} \cdot e^{2 x} = e^{- x + 2 x} = e^{x}

Lars94 aktiv_icon

19:43 Uhr, 10.05.2014

Also hängt das damit zusammen, weil Potenzen addiert beziehungsweise subtrahiert werden?

Habe als Ergebnis nun auch

2 x = ln (2)

Wie kommt der Buchautor auf das exakte Ergebnis? Also auf die

0.5

?

Besten Dank!!!!

Atlantik aktiv_icon

19:53 Uhr, 10.05.2014

2 x = ln (2)

x = \frac{1}{2} \cdot ln (2) \approx 0,346

mfG

Atlantik

Lars94 aktiv_icon

20:23 Uhr, 10.05.2014

Man könnte doch auch einfach durch 2 teilen? Dann wäre die 2 Links auch weg?

Hätte noch eine Frage zu einer Aufgabe:

2 e^{- 2 x} - e^{x} = 0

Habe hier folgendes raus:

x = - \frac{ln 0,5}{3}

Stimmt das Ergebnis? Oder wie kann ich das Ergebnis selber überprüfen?

Einfach das Ergebnis

- \frac{ln 0,5}{3}

in die Ausgangsgleichung für das

x

einsetzen?

Danke ;-)

Gwunderi aktiv_icon

21:39 Uhr, 10.05.2014

Ja, kannst zum Überprüfen das Ergebnis in die Gleichung einsetzen, wirst sehen, dass es nicht stimmt.

2 e^{- 2 x} - e^{x} = 0

2 e^{- 2 x} = e^{x}

2 = e^{x} \cdot e^{2 x} = e^{3 x}

3 x = l n 2

x = \frac{l n 2}{3}

(= etwa 0,231)

DAS eingesetzt gibt ergibt eine wahre Aussage : )

Lars94 aktiv_icon

22:31 Uhr, 10.05.2014

Vielen lieben Dank.

Ich dachte die Gleichung muss man durch ausklammern lösen...

Bis zum zweiten Schritt kann ich folgen. Du holst mit

+

das

e^{x}

auf die andere Seite. Was du danach machst? Verstehe ich nicht.

Ma-Ma aktiv_icon

22:45 Uhr, 10.05.2014

"Ich dachte die Gleichung muss man durch ausklammern lösen..."
Mann KANN, aber man MUSS nicht. Es gibt mehrere Lösungswege

. .

.

Bis dahin war´s klar.

2 \cdot e^{- 2 x} = e^{x}

\frac{2}{e^{2 x}} = e^{x}

Der nächste Schritt jetzt besser zu verstehen ?

Lars94 aktiv_icon

22:55 Uhr, 10.05.2014

Diese Aufgabe ist echt zum verrückt werden

: O

Habe jetzt mehr als

30

dieser Gleichungen gerechnet und das Ergebnis mit Wolfram überprüft. Klappt soweit alles, außer diese Aufgabe.

Ich soll die laut Buch durch ausklammern lösen.

2 e^{- 2 x} - e^{x} = 0

Wie bei ganzrationalen Funktionen gelernt, würde ich immer den kleinsten X-Wert ausklammern.

In diesem Fall wäre das ja

e^{x}

e^{x} (2 e^{- 3 x} - 1) = 0

Die Hochzahlen werden ja laut Potenzregel addiert beziehungsweise subtrahiert. Wenn ich nun also

e^{x}

mal

2 e^{- 3 x}

wird das eine

x

zu den

- 3

addiert und ich habe ja wieder

2 x

. Begreife einfach nicht, wieso das nicht stimmen soll beziehungsweise ich finde einfach meinen Denkfehler nicht.

Würde mich sehr über eine Antwort diesbezüglich freuen! Danke!

Ma-Ma aktiv_icon

22:59 Uhr, 10.05.2014

Frage: Hast den Schritt bei Gwunderi verstanden (siehe meine Antwort von

22 : 45

Uhr) ?

Lars94 aktiv_icon

23:02 Uhr, 10.05.2014

Ich denke es wurde einfach durch 2 geteilt. Macht aber irgendwie auch kein Sinn, da dies ja dann auf der rechten Seiten auch gemacht werden hätte müssen...

Ma-Ma aktiv_icon

23:05 Uhr, 10.05.2014

Nochmal zurück:

22 : 45

Uhr

\frac{2}{e^{2 x}} = e^{x} ... ...

| \cdot e^{2 x}

2 = e^{x} \cdot e^{2 x}

2 = . .

. ?

Lars94 aktiv_icon

23:12 Uhr, 10.05.2014

Danke dir.

Aber ich habe bei der Aufgabe einfach einen Blackout. Die ganzen verschiedenen Lösungswege, jeder schreibt die Aufgaben anders hin, die Frage etc. habe mich komplett verwirrt. Da sehe ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Falls jemand Lust und Zeit hätte, würde ich mich sehr freuen, wenn jemand die einzelnen Schritte kurz mit einem Satz erklären könnte. Irgendwie frustrierend, wenn man so lange bezüglich einer Aufgabe lernt und nicht weiter kommt

: (

Ma-Ma aktiv_icon

23:17 Uhr, 10.05.2014

Dein Problem: Die Aufgabe im Buch ist nicht identisch mit Deiner Aufgabe im Thread von

20 : 23

Uhr.

Gwunderi hat alles sehr schön aufgeschrieben. Du antwortest aber nicht auf Fragen, sondern bringst dauernd neue Aspekte dazu

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Antwort auf meine Frage von

23 : 05

Uhr ?

Lars94 aktiv_icon

23:26 Uhr, 10.05.2014

Also.

Du hast gefragt, was

2 = e^{x}

⋅

e^{2 x}

ergibt.

Mein Ergebnis:

2 = e^{x}

⋅

e^{2 x}

2 = e^{x 3}

Da ich laut Potenzgesetz ja die Exponenten addieren muss.

Ma-Ma aktiv_icon

23:32 Uhr, 10.05.2014

Fast richtig.

2 = e^{3 x}

Jetzt auf beiden Seiten den

ln

. Kannst Du das ?

(Wie gesagt, dies ist seit

20 : 23

Uhr nicht mehr die Aufgabe aus Deinem Buch!)

Lars94 aktiv_icon

23:36 Uhr, 10.05.2014

Das mit dem

ln

sollte einfach sein ;-)

2 = e^{3 x}

2 = e^{3 x} | ln

ln (2) = 3 x | : 3

\frac{ln (2)}{3} = x

bzw.

x = \frac{ln (2)}{3}

Nun sollte alles stimmen?

Ma-Ma aktiv_icon

23:38 Uhr, 10.05.2014

JA, das ist richtig. Wo lag Dein Problem ? Ich sehe keines

. .

.
LG Ma-Ma

Lars94 aktiv_icon

23:42 Uhr, 10.05.2014

Durch die verschiedenen Antworten war ich irgendwann total durcheinander.

Vielen lieben Dank, für deine tolle und ausdauernde Hilfe. Ich hoffe ich habe deine Nerven nicht zu sehr strapaziert?

Mein Problem ist nun nur folgendes.

Gwunderi beziehungsweise der von Gwunderi vorgeschlagene Weg geht die Sache ja nicht mit ausklanmmern an. So sollte ich die Aufgabe aber lösen.

- - -

Dazu das:

2 e^{- 2 x} - e^{x} = 0

Wie bei ganzrationalen Funktionen gelernt, würde ich immer den kleinsten X-Wert ausklammern.

In diesem Fall wäre das ja

e^{x}

e^{x} (2 e^{- 3 x} - 1) = 0

Die Hochzahlen werden ja laut Potenzregel addiert beziehungsweise subtrahiert. Wenn ich nun also

e^{x}

mal

2 e^{- 3 x}

wird das eine

x

zu den

- 3

addiert und ich habe ja wieder

2 x

. Begreife einfach nicht, wieso das nicht stimmen soll beziehungsweise ich finde einfach meinen Denkfehler nicht.

Ma-Ma aktiv_icon

23:59 Uhr, 10.05.2014

Okay, Du möchtest ausklammern.
(Du weisst, dass dies nicht die Aufgabe aus Deinem Buch ist!)

2 \cdot e^{- 2 x} - e^{x} = 0

Du möchtest

e^{x}

ausklammern :

2 \cdot \frac{1}{e^{2 x}} - e^{x} = 0

(\frac{2}{e^{2 x}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}}) - e^{x} = 0

e^{x} \cdot (\frac{2}{e^{3 x}} - 1) = 0

- - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag: In Deinem Post von

23 : 42

Uhr hast Du alles richtig gemacht !
Unsere beiden Rechenwege betreffs Ausklammern sind gleich!

Lars94 aktiv_icon

00:22 Uhr, 11.05.2014

Habe komischerweise wieder was anderes raus, siehe Anhang.

Ma-Ma aktiv_icon

00:39 Uhr, 11.05.2014

Schmunzel

. .

.

Meine Lösung (Kurzfassung)

\frac{2}{e^{3 x}} = 1

2 = e^{3 x}

ln 2 = 3 x

\to x = \frac{ln 2}{3}

Deine Lösung:

\to x = \frac{- ln (0,5)}{3}

BERECHNE BEIDE

x!

Sind diese eventuell gleich ???????????

Lars94 aktiv_icon

01:04 Uhr, 11.05.2014

Sind echt beide gleich

\to 0.231 . .

.

Echt kurios. Aber wieso hat eine Aufgabe zwei verschiedene Lösungen.

Ich denke seit Stunden, ich habe falsch gerechnet :-D) Denn schließlich hat mir Wolfram etc. eine andere Lösung angezeigt. In einer Klassenarbeit würde der Lehrer ja dann vielleicht auch denken, dass das Ergebnis nicht stimmt? Also zumindest, wenn es exakt da steht.

Vielen Dank noch mal für deine tolle Hilfe ;-)

Ma-Ma aktiv_icon

01:10 Uhr, 11.05.2014

Gleiche Lösungen, unterschiedliche Rechenwege.

Du kannst ja auch schreiben:

4 = 2 \cdot 2

4 = 2 + 2

4 = 6 - 2

4 = 1 + 3

Je nach Ansatz immer das gleiche Resultat

. .

.

Dein Lehrer würde sicher beide Rechenwege (Deinen, meinen, Gwunderi's) als richtig anerkennen.
Im Abitur ist es eh egal, Hauptsache richtig und gut dokumentiert, egal WIE man darauf kommt.

LG Ma-Ma

Gwunderi aktiv_icon

12:25 Uhr, 11.05.2014

Hallo zusammen
Bin erst jetzt wieder dazugekommen ...

ln(2) = - ln(0,5)

Das stimmt ja tatsächlich! Tschuldigung, wenn ich sagte, Dein Ergebnis sei falsch, aber sehe jetzt noch nicht (so auf die Schnelle), warum obiges gleich ist. Komisch ... und sorry.

Edit: sehe jetzt warum, 0,5 ist ja der Kehrwert von 2:

Beispiel:

2^{3} = 8

l o g 8 = 3

(Logarithmus zur Basis 2)

l o g 8 = - l o g \frac{1}{8} = - (- 3) = 3

Wieder was gelernt : )

Lars94 aktiv_icon

18:51 Uhr, 11.05.2014

Vielen Dank an euch, für die tolle Hilfe ;-)

Ich finde die Aufgaben total verwirrend

: (

Normale Gleichungen kann man sehr gut alleine üben. Einfach viele Aufgaben und dann das Ergebnis mit Wolfram etc. oder durch einsetzen kontrollieren.

Viele liebe Grüße ;-)

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