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Exponentialgleichungen(Potenzgesetze, Ausklammern)

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Ausklammern, Logarithmieren, Logarithmus, Potenzgesetz, Vereinfachen

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08:16 Uhr, 09.12.2017

Hey,

momentan kämpfe ich in der Schule darum, Exponentialgleichungen, die wir unzureichend besprochen haben, zu lösen.
Es ist erneut Wochenende, jedoch habe ich genug anderer Aufgaben, an die ich mich widmen muss. Ich habe keine Lust, erneut 5 Stunden an den Gleichungen zu sitzen und am ende wieder nur mist rauszukriegen. Bitte daher dringend um Hilfe, will im Leistungskurs nicht untergehen, nur weil Aufgaben nicht Besprochen werden. Geld für Nachhilfe habe ich leider auch nicht, daher wende ich mich hier an euch. Roman Ende :

Löse die folgenden Exponentialgleichungen durch geschicktes Ausklammern.

U) 3^ [x+1] -12 =18- [3^x-1] (Das Ergebnis müsste 2 sein, nur komme ich nie drauf)

V) 25^ [x+0,5] -25^ [x]-12000= 25^ [x-0,5] -125

Bringe auf gemeinsame Basis und löse durch geschicktes Ausklammern.

W) 81^[x+0,25] +9^2x-0,5=3^4x+21

Exponentenvergleich.

X) 3^ [4/x]=3 ^ [x]

[] stellt den gesamten Exponenten dar.

Das wär's, will nicht zuviel erwähnen. 5 Knobel Aufgaben, die mir zu schaffen machen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Logarithmusgesetze - Einführung
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern
e-Funktion

anonymous

08:33 Uhr, 09.12.2017

Hallo
Kurzer Roman:
"Will nicht zuviel erwähnen"
ist natürlich ein wenig wenig.
Du musst ja nicht 5 Stunden alleine kämpfen und nur Mist rauskriegen.
Aber ein klein wenig mehr, als nur die Aufgaben hinzuknallen, wäre wohl schon zumutbar.

PS: Wenn du statt der eckigen Klammern gewöhnliche Klammern

()

nutzt, dann sieht das hier auch gleich viel angenehmer aus.

Also - fangen wir an:

U)

3^{x + 1} - 12 = 18 - 3^{x - 1}

Was meinst du ist wohl

18 + 12

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08:56 Uhr, 09.12.2017

"18+12 ist 30" ! ,
nach der Vorgehensweise Potenzgesetze :

3^(x)*3=30-3^(x)*3/1 ' An der Stelle addiere ich +3^(x)*3/1

3^(x)*3+3^(x)*3/1=30 ' An der Stelle klammere ich aus

3^(x) [3+3/1]=30 ' An der Stelle teile ich 30 durch 6

3^(x) = 5

Gameover, denn der Logarithmus ist x=1,46497..

Ich habe auch schon andere Lösungen gehabt wie 2,09, aber 09 darf nicht sein, es soll glatt 2 rauskommen, und am Ende müsste dafür 3^(x)=9 stehen und der Logarithmus ist dann 2 glatt !

Ja, die Aufgabe hast du korrekt dargestellt.

Respon

09:00 Uhr, 09.12.2017

"Löse die folgenden Exponentialgleichungen durch geschicktes Ausklammern."

. .

. und verwende die Rechenregeln für Potenzen.
Versuch mal die erste Aufgabe !

Respon

09:09 Uhr, 09.12.2017

. .

3^{x + 1} + 3^{x - 1} = 30

3^{x - 1} \cdot (3^{2} + 1) = 30

3^{x - 1} \cdot 10 = 30

3^{x - 1} = 3

...

\Rightarrow x = . .

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09:12 Uhr, 09.12.2017

Ausklammern haben wir leider nie so ausführlich besprochen, daher ist's mir ein Rätsel, wie man auf 3^2 kommt.
Die darauffolgenden aufgaben sind ja außerdem kniffliger... :'D

Es wurde ausgeklammert, aber wieso (3^2+1) o.O

Respon

09:19 Uhr, 09.12.2017

Es sind immer die gleichen Grundregeln.
Herausheben bedeutet eigentlich "dividieren". Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Man hebt - wenn möglich - immer die kleinste Potenz heraus.
linke Seite:

3^{x + 1} + 3^{x - 1}

Die kleinste Potenz ist

3^{x - 1}

\Rightarrow

3^{x - 1} \cdot (3^{(x + 1) - (x - 1)} + 3^{(x - 1) - (x - 1)})

3^{x - 1} \cdot (3^{2} + 3^{0})

3^{0} = 1

3^{x - 1} \cdot (9 + 1)

3^{x - 1} \cdot 10

usw.

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09:27 Uhr, 09.12.2017

Alles klar, schön und ausführlich beantwortet, leider muss ich diese Antwort nochmal genauer untersuchen... (Bin ein wenig doof..) Danke !

Falls die restlichen Aufgaben auch irgendwie mithilfe von detaillierten Antworten bearbeitet werden, bin ich euch echt Dankbar ! Ich verzweifle an jeder weiteren Aufgabe ebenfalls.

Jedenfalls die beiden nach U) W,V.. wäre cool..

Respon

09:42 Uhr, 09.12.2017

Die anderen Aufgaben folgen genau diesem Schema. Wenn zusätzlich etwas beachtet werden muss, so steht das in den Hinweisen.

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09:50 Uhr, 09.12.2017

Okay, Dankeschön ! :-)

anonymous

12:03 Uhr, 09.12.2017

Übrigens:
Es führen viele Wege nach Rom.
Ich möchte dich unterstützen, den deinen gerne zu verfolgen.
Und dein Weg war gut - und fast richtig!

Du hattest um

8 : 56 h

geschrieben
"nach der Vorgehensweise Potenzgesetze:

3^{x} \cdot 3 = 30 - 3^{x} \cdot \frac{3}{1}

"
Kleiner FlüchtigkeitsFEHLER, große Wirkung!

Was du wolltest war doch:

3^{x + 1} = 30 - 3^{x - 1}

3^{x} \cdot 3^{1} = 30 - 3^{x} \cdot 3^{- 1}

3^{x} \cdot 3 = 30 - 3^{x} \cdot \frac{1}{3}

Mach von hier aus gerne mal DEINEN Weg weiter.
Du wirst sehen, von hier aus ist es richtig simpel.

Übung macht den Meister.
Und genau der Übung halber sollst du deine Hausaufgaben machen.

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12:21 Uhr, 09.12.2017

Exakt, richtigen Fehler erkannt, danke :

3^(x)*3=30-3^(x)*1/3 ' +3^(x)*1/3

3^(x)*3+3^(x)*1/3=30 ' Ausklammern

3^(x)* (3+1/3) = 30 ' Nebenrechnung : 3+1/3 = 10/3, also durch 10/3

3^(x) = 9

DANKEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

Dieses komplizierte ausklammern, unter Beachtung von der größeren und kleineren Potenz, erschließt sich mir nicht, deine Antwort jedoch schon eher. :-D) Großartig, danke.

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12:25 Uhr, 09.12.2017

3 \cdot 3^{x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x} = 30

\frac{10}{3} \cdot 3^{x} = 30

3^{x} = 9

3^{x} = 3^{2}

x = 2

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12:42 Uhr, 09.12.2017

Ja, danke euch allen ! Vor allem danke kreadoor, dieser Lösungsweg erscheint mir am einfachsten, danke. Da dieses ausklammern unter Beachtung von größer und kleiner mich ein wenig irritiert und in der Tiefe habe ich leider noch nie ausklammern&herausheben gehabt...... Jetzt heißts üben

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12:50 Uhr, 09.12.2017

Bitte abhaken. :-)

Atlantik aktiv_icon

14:28 Uhr, 09.12.2017

X .)

3^{\frac{4}{x}} = 3^{x}

Basis ist hier die

3 \to

Exponentenvergleich:

\frac{4}{x} = x

x^{2} = 4

x_{1} = 2

x_{2} = - 2

mfG

Atlantik

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14:53 Uhr, 09.12.2017

Klasse, Danke !

Wie schauts mit der V) aus, wenn es 3x die gleiche Basis/Potenz gibt, wie klammert man da aus ? o.O

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15:03 Uhr, 09.12.2017

25^{x + 0,5} - 25^{x} - 12000 = 25^{x - 0,5} - 125

25^{x + 0,5} - 25^{x} - 25^{x - 0,5} = 11875

25^{x - 0,5} (25^{1} + 25^{0,5} - 1) = 11875

25^{x - 0,5} \cdot 29 = 11875

25^{x - 0,5} = \frac{11875}{29}

x - 0,5 = \frac{ln (\frac{11875}{29})}{ln 25}

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15:11 Uhr, 09.12.2017

Sieht nett aus, nur Leider verstehe ich diese Vorgehensweise nicht, da plötzlich hoch 1 im Exponenten steht und die Exponenten X und 0,5 verschwunden sind... hatte das echt nie im Unterricht.
Bei mir kommt bei deiner Lösung 1,36863.. raus, wenn ich das einsetze, kriege ich zwei unterschiedliche Zahlen raus

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15:21 Uhr, 09.12.2017

\frac{25^{x + 0,5}}{25^{x - 0,5}}

= 25^{x + 0,5 - (x - 0,5)} = 25^{1}

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15:24 Uhr, 09.12.2017

Danke hmm.....
Überhaupt den Logarithmus ziehen wir nur so :

Log XY (Z) = ?

Ohne LN.. hab das LN nur mal genutzt, um abzuleiten.

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15:30 Uhr, 09.12.2017

Ich vermute, du hast nicht korrekt abgeschrieben, weil hier ein unschönes Ergebnis rauskommt. Überprüfe die Angaben und meine Interpretation.

"Log XY (Z)

=

?"

Das verstehe ich nicht. Bitte mit Zahlen! Welchen log meinst du?

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15:34 Uhr, 09.12.2017

Diesen Knopf, wo du lediglich Potenz und Zahl eingeben musst. Du hast dann bspw. direkt x=...

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15:46 Uhr, 09.12.2017

Du kannst zum Logarithmieren jede Basis nehmen.

a^{x} = b

x \cdot l n (a) = ln (b)

oder:

x \cdot {log}_{10} (a) = {log}_{10} (b)

allgemein;

x \cdot {log}_{z} (a) = {log}_{z} (b)

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15:53 Uhr, 09.12.2017

Genau, deine Lösung wäre dann ja : 1,868632133 , nur beim Einsetzen in beide Gleichungen, kommt bei mir was falsches raus ._.

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16:14 Uhr, 09.12.2017

Sorry, Tippfehler:

Statt

+ 25^{0} . 5

muss es

- 25^{0,5}

lauten

- \to

Aus

29

wird

19

- \to 25^{x - 0,5} = 625

5^{2 x - 1} = 5^{4}

2 x - 1 = 4

x = 2,5

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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