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Exponentialreihe, Restgliedabschätzung

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Salasah aktiv_icon

01:41 Uhr, 27.09.2016

Es gilt exp(x)=

\sum_{n = 0}^{N} \frac{x^{n}}{n!} + R_{N + 1} (x),

wobei

| R_{n + 1} (x) | \leq 2 \cdot \frac{{| x |}^{N + 1}}{(N + 1)!}

für alle

x

mit

| x | \leq 1 + \frac{1}{2} N

.

Im Beweis wird der Rest

R_{N + 1} (x) = \sum_{n = N + 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

mit der geometrischen Reihe abgeschätzt. Es ist

| R_{N + 1} | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} \frac{{| x |}^{n}}{n!} = ...

\leq 2

Warum gilt kleiner gleich? Ich meine der Ausdruck wegen dem Betrag?
Und außerdem ist das Symbol

\sum_{n = k}^{\infty}

doch nur ein Symbol für die Folge der Partialsummen, bzw. für den Grenzwert falls er existiert. Mit Symbolen kann man doch nicht rechnen?!

pwmeyer aktiv_icon

08:39 Uhr, 27.09.2016

Hallo,

"Warum gilt kleiner gleich? Ich meine der Ausdruck wegen dem Betrag?"
Das folgt doch aus der Dreiecksungleichung!?

Das Symbol

\sum

bezeichnet in der Mathematik sowohl die Folge der Partialsummen, als auch im Falle der Konvergenz ihren Grenzwert - das ist etwas inkonsequent, aber eben üblich.

Gruß pwm

Salasah aktiv_icon

12:59 Uhr, 27.09.2016

Und was bezeichnet es jetzt in meinem Fall da oben?

pwmeyer aktiv_icon

13:28 Uhr, 27.09.2016

Hallo,

den Wert, sonst kann man doch nichts abschätzen.

Gruß pwm

Salasah aktiv_icon

14:02 Uhr, 27.09.2016

Achso ja, ich hatte mir folgendes jetzt gedacht.
Weil

R_{N + 1} = \sum_{n = N + 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

konvergiert kann ich schreiben:

R_{N + 1} = lim_{k \to \infty} \sum_{n = N + 1}^{k} \frac{x^{n}}{n!} = lim_{k \to \infty} a_{k}

b_{k} := \sum_{n = N + 1}^{k} \frac{{| x |}^{n}}{n!}

und weil

a_{k} \leq b_{k}

für alle

k

gilt dann auch

lim a_{k} \leq lim b_{k}

Ich wollte es einfach nur einmal genau wissen ahaha

pwmeyer aktiv_icon

17:45 Uhr, 27.09.2016

Wenn Du einen genauen Korrekteur hast, gibts Probleme: Aus der Konvergenz der der

(b_{k})

folgt die KOnvergenz der

(a_{k}) -

nicht umgekehrt.

Gruß pwm

Salasah aktiv_icon

01:14 Uhr, 28.09.2016

mhm stimmt, wie begründet man denn dann, dass

b_{k}

konvergiert?

pwmeyer aktiv_icon

09:55 Uhr, 28.09.2016

Hallo,

mit dem Quotientenkriterium für Reihen.

Gruß pwm

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