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Exponentielle Wachstums- und Abnahmevorgänge

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentielle Wachstums- und Abnahmevorgänge

lala-lazy aktiv_icon

13:54 Uhr, 06.11.2011

Der Kaninchenbestand in einem Streichelzoo wuchs in

12

Jahren exponentiell von

30

auf

125

Kaninchen an.

a)

Wie groß war der jährliche Wachstumsfaktor?

b)

Berechne den Prozentsatz der jährlichen Zunahme.

Und jetzt meine Frage: Wie geht das genau?
Ich habe jetzt aufgeschrieben

N (t) = 30 \cdot a^{t}

dann würde ich für

t = 12

einsetzen???

michael777 aktiv_icon

14:01 Uhr, 06.11.2011

N (t) = 30 \cdot a^{t}

ist richtig

N (12) = 125

125 = 30 \cdot a^{12}

damit kannst du den Wachstumsfaktor a ausrechnen

lala-lazy aktiv_icon

19:10 Uhr, 06.11.2011

Vorerst vielen Dank :-)
Und wie berechne ich

b)

?
Um die Prozentzahl auszurechnen, brauche ich den Wachstumsfaktor, richtig? Wenn ich den habe, multipliziere ich mit

10

und dividiere durch

100

DmitriJakov aktiv_icon

19:41 Uhr, 06.11.2011

Der Prozentsatz ist

(a - 1) \cdot 100

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19:43 Uhr, 06.11.2011

Ok.
Bei Aufgabe

a)

verstehe ich aber gerade nicht, was

N (12) = 125

bedeuten soll...
Wenn ich die Gleichung

125 = 30 \cdot a^{12}

habe, wie komme ich denn auf den Wachstumsfaktor a?

DmitriJakov aktiv_icon

19:48 Uhr, 06.11.2011

Das hat Dir doch michael777 aufgeschrieben.

N (t) = 30 \cdot a^{t}

ist die Funtionsvorschrift.

N (12) = 125

hast Du als Steckbrief-Angabe

N (12) = 30 \cdot a^{12} = 125

a^{12} = \frac{125}{30}

a = \sqrt[12]{\frac{125}{30}} \approx 1,126

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19:52 Uhr, 06.11.2011

Achso, aber wenn es heißt

N (12) = 30 \cdot a^{12} = 125,

muss ich dann nicht erstmal

30

subtrahieren? Bei mir heißt es dann nämlich

N (12) = a^{12} = 95

und ziehe dann die

12

. Wurzel

DmitriJakov aktiv_icon

19:55 Uhr, 06.11.2011

Was meinst Du mit "Bei mir heisst es"? Ist das in einer Lösungsvorgabe oder ist das Dein eigener Lösungsversuch?

lala-lazy aktiv_icon

19:56 Uhr, 06.11.2011

Nein, das ist mein eigener Lösungsversuch. Ich bin gerade selbst dabei, die Aufgabe mitzurechnen.
Ich verstehe es nämlich so, dass wenn man

30

dividiert dass man auch durch

a^{12}

teilen muss oder etwa nicht? Man teilt ja den gesamten Ausdruck und nicht nur die

125

?
Ich habe nämlich folgendes gerechnet:

N (12) = 30 \cdot a^{12} = 125 | - 30

N (12) = a^{12} = 95 | 12

. Wurzel

a = 1,46

DmitriJakov aktiv_icon

20:01 Uhr, 06.11.2011

Wenn Du auf beiden Seiten durch

30

dividierst, dann hast Du doch folgendes:

30 \cdot a^{12} = 125 | \div 30

\frac{30 \cdot a^{12}}{30} = \frac{125}{30}

jetzt links kürzen:

a^{12} = \frac{125}{30}

lala-lazy aktiv_icon

20:04 Uhr, 06.11.2011

Achso, jetzt verstehe ich erst. Ich habe letztendlich durch die Proberechnung, erkannt, dass meine Rechnung falsch war.
Also heißt die Gleichung

N (t) = 30 \cdot {1,126}^{t}

Wenn man für

t = 12

einsetzt kommt man auch ungefähr auf

125

. Jetzt habe ich es verstanden :-)

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20:09 Uhr, 06.11.2011

Ist der Prozentsatz zu

b) = 12,6 %

DmitriJakov aktiv_icon

20:11 Uhr, 06.11.2011

Jepp, jetzt hast Du es :-)

lala-lazy aktiv_icon

20:17 Uhr, 06.11.2011

Vielen, vielen Dank :-)

Jetzt habe ich noch schnell 'ne andere Frage, wenn Sie erlauben
In einer Bakterienkultur werden 2 Stunden nach dem Ansetzen rund

600,

nach weiteren 4 Stunden rund

25.000

Bakterien gezählt.

a)

Wie viele Bakterien waren (bei exponentiellem Wachstum) 3 Stunden nach dem Ansetzen der Kultur entstanden?

b)

Wie groß ist die stündliche Zuwachsrate der Bakterienkultur in Prozent?
Stelle das Wachstum für die ersten

60

Minuten nach dem Ansetzen grafisch dar.

Den ersten Schritt, bevor man zu Teilaufgabe

a)

übergehen kann, habe ich bereits in der Schule gemacht, die Gleichung lautet:

N (t) = 93 \cdot {2,54}^{t}

a)

habe ich vorhin schon berechnet, bin mir aber unsicher, ob das richtig ist:

N (t) = 93 \cdot {2,54}^{3}

= 1524

Bakterien nach 3 Stunden.

und bei Teilaufgabe

b)

habe ich um ehrlich zu sein keine Ahnung was man da von mir will, außer den Prozentsatz...

DmitriJakov aktiv_icon

20:25 Uhr, 06.11.2011

Die Vorarbeiten vor Aufgabe

a)

kann ich nicht nachvollziehen, sie ist auch nicht richtig, zumindest was das Ergennis nach 4 Stunden betrifft.

Du fängst wieder mit der Grundgleichung an:

N (t) = N_{0} \cdot a^{t}

N_{0} = 600

t = 2

N (2) = 25000

Also:

25000 = 600 \cdot a^{2}

lala-lazy aktiv_icon

20:33 Uhr, 06.11.2011

Das mit den 4 Stunden, steht in der Aufgabenstellung. Die heißt so. Die Grundgleichung haben wir im Unterricht mit dem Lehrer besprochen und dabei diese rausgekriegt

N (t) = 93 \cdot {2,54}^{t}

Das Ergebnis von

25000

ist quasi nach 6 Stunden erreicht worden, nicht nach 4.
Zum Zeitraum 2 Stunden betrug die Kultur

600

Bakterien. nach 4 weiteren (also zum Zeitraum 6 Stunden) betrug die Kultur laut der Aufgabenstellung

25000

Bakterien.

Die Gleichung habe ich ja schon, also muss ich für

t = 3

einsetzen. So komme ich auf

1524

Bakterien nach 3 Stunden

DmitriJakov aktiv_icon

20:46 Uhr, 06.11.2011

Das Wort "nach WEITEREN 4 Stunden" hatte ich übersehen, sorry. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass die Formel

93 \cdot {2,54}^{t}

nicht nachvollziehbar ist, zumindest ergibt sie sich nicht aus den Angaben, die Du hier aufgeschrieben hast.

Meine Antwort werde ich nun entsprechend modifizieren:

N (t) = N_{0} \cdot a^{t}

N_{0} = 600

t = 4

N (4) = 25000

25000 = 600 \cdot a^{4}

a = \sqrt[4]{\frac{25000}{600}} \approx 2,54

N (3) = 600 \cdot {2,54}^{3} = 9832

Beim Ansetzen herrschte

t = - 2,

also:

N (- 2) = 600 \cdot {2,54}^{- 2} = 93

So kommt dann die

93

zustande, wenn man zum Zeitpunkt des Ansetzens der Kultur zurückrechnet.

lala-lazy aktiv_icon

20:50 Uhr, 06.11.2011

Soweit hatten wir in der Schule auch gerechnet.
Und wie sieht es nach 3 Stunden aus?

\to a)

DmitriJakov aktiv_icon

21:02 Uhr, 06.11.2011

Ach Mist, heute ist zu viel los. 3 Stunden nach dem Ansetzen ist natürlich eine Stunde, nachdem die

600

erreicht wurden. Also ist es im meiner Zählung dann

N (1) = 600 \cdot {2,54}^{1} = 1524

lala-lazy aktiv_icon

21:07 Uhr, 06.11.2011

Genau dasselbe habe ich auch raus, nur mit meiner Gleichung, aber solange am Ende, dasselbe Ergebnis rauskommt, sehe ich da keinen Unterschied.
Und

b)

? Prozentsatz und grafische Darstellung nach 1 Stunde? Wie soll man denn ein Wachstum für nur 1 Stunde im Koordinatensystem darstellen? Versteh' ich nicht.

DmitriJakov aktiv_icon

21:17 Uhr, 06.11.2011

Prozentsatz wie vorhin:

(a - 1) \cdot 100 %

Und Die Zeichnung: Auf der x-Achse zeichnest Du die Zeit auf und auf der y-Achse die Anzahl. Trag ein paar Punkte ein und verbinde sie. Die Formel zur Berechnung der Punkte hast Du ja.

lala-lazy aktiv_icon

21:31 Uhr, 06.11.2011

Gut, dankeschön :-) Ich bin jetzt fertig. Aber irgendwie ist es kein exponentielles Wachstum, sondern ein lineares..

DmitriJakov aktiv_icon

21:41 Uhr, 06.11.2011

Dann hast Du vielleicht nur 2 Punkte genommen und sie mit einer Geraden verbunden? Das Wachstum ist in diesem Fall exponentiell, darüber gibt es keinen Zweifel ;-)

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