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Exponentielles Wachstum

Schüler

Tags: Gleichung aufstellen

TommyTom aktiv_icon

16:26 Uhr, 14.11.2025

Hallo Leute, irgendwie bin ich etwas überfordert....

Die Aufgabe lautet:
Auf einer Farm sind

13 %

der Pflanzen mit einem Pilz infiziert.
5 Tage später sind es bereits

18 %

a)

Um wieviel Prozent wächst die Pilzinfektion pro Tag?

b)

Nach wie vielen Tagen ist die Hälfte befallen?

Wie fange ich da an?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

KL700 aktiv_icon

16:49 Uhr, 14.11.2025

Die Formel dazu lautet:

N (t) = N (0) \cdot a^{t}

N (t) =

Infektionsstand in % nach

t

Tagen

N (0) =

Infektionsstand in % zu Beginn

a =

Zunahmefaktor

a)

Löse diese Gleichnung:

0,18 = 0,13 \cdot a^{5}

a =

?

Um auf die gesuchten Prozent

p

zu kommen, gilt:

p = a - 1

b)

Löse diese Gleichung mit dem ermittelten a aus

a)

0,13 \cdot a^{t} = 0,5

Statt mit

0,13 = 13 %

und

0,18 = 18 %

kannst du auch mit

13

bzw.

18

rechnen.
Die Einheit ist für die Berechnung hier ohne Bedeutung.

PS:
Du kannst auch dieee Formel verwenden:

N (t) = N (0) \cdot e^{k \cdot t}

k =

Wachstumskonstante.
Dabei gilt:

e^{k \cdot t} = a^{t}

bzw.

a = e^{k}

Diese Variante wird in der Wissenschaft bevorzugt.

calc007

16:57 Uhr, 14.11.2025

Hallo
Aus deiner Überschrift entnehme ich, dass ihr gerade exponentielle Zusammenhänge studiert.

Darf ich's mal in meine Worte fassen.

Heute haben wir einen Pilzbefall von

13 %

.
Wenn wir mal die Zeit

(\in

Tagen) als

t

bezeichnen wollen,
und den Pilzbefall als "y" , dann:

y (t = 0) = 0,13

Exponentielles Wachstum bedeutet, dass irgendwas sich in regelmäßigen Schritten um einen Faktor verändert;
in unserem Fall der Pilzbefall regelmäßig jeden Tag.

Geben wir diesem Faktor doch mal einen Namen. Ich schlage vor, wir nennen ihn:

f

Und keine Sorge, gleich wissen wir mehr darüber.

So, jetzt ist es leicht sich klar zu machen:
Wenn wir heute einen Pilzbefall von

y (0) = 0,13

haben, und dieser in einem Tag um

f

wächst, dann wird der Pilzbefall morgen (nach einem Tag) doch lauten:

y (1) = 0,13 \cdot f

Am darauf folgenden Tag wird doch der Pilzbefall wiederum um diesen Faktor

f

gegenüber diesem Pilzbefall morgen wachsen:

y (2) = y (1) \cdot f = (0,13 \cdot f) \cdot f = 0,13 \cdot f^{2}

Am darauf folgenden Tag (nach drei Tagen) wird doch der Pilzbefall wiederum um diesen Faktor

f

gegenüber dem Pilzbefall

y (2)

wachsen:

y (3) = y (2) \cdot f = (0,13 \cdot f^{2}) \cdot f = 0,13 \cdot f^{3}

Am darauf folgenden Tag (nach vier Tagen) wird doch der Pilzbefall wiederum um diesen Faktor

f

gegenüber dem Pilzbefall

y (3)

wachsen:

y (4) = y (3) \cdot f = (0,13 \cdot f^{3}) \cdot f = 0,13 \cdot f^{4}

Am darauf folgenden Tag (nach fünf Tagen) wird doch der Pilzbefall wiederum um diesen Faktor

f

gegenüber dem Pilzbefall

y (4)

wachsen:

y (5) = y (4) \cdot f = (0,13 \cdot f^{4}) \cdot f = 0,13 \cdot f^{5}

Außerdem wissen wir aus dem Aufgabentext, dass der Pilzbefall nach 5 Tagen bekannt ist. Er beträgt

18 %

.
Also:

y (5) = y (4) \cdot f = (0,13 \cdot f^{4}) \cdot f = 0,13 \cdot f^{5} = 0,18

Und sieh an...., schon kannst du diesen Faktor

f

berechnen.
Mach mal!
:-)

TommyTom aktiv_icon

17:03 Uhr, 14.11.2025

ich habs!! :-)))

für a kommt

6,72 %

raus und für

k 6,51 %

.
Da sich Pilze kontinuierlich vermehren würde ich sagen, dass

6,51 %

richtig(er) ist.

und nach

20,7

Tagen ist die Hälfte befallen.

DANKEEEEEEE KL700 und calc007

calc007

17:24 Uhr, 14.11.2025

Um den Lernerfolg nicht nur bei - da kommt numerisch was raus - zu belassen, sondern zu mehr Verständnis zu führen:

ja-in...

a = 1,0672

Wer das unbedingt zu

a = 1 + 6,72 %

verunstalten will, ja mathematisch mag's korrekt sein, dem Verständnis oder der Einfachheit dient's aber bestimmt nicht.

und:

N (t) = N (0) \cdot a^{t} = N (0) \cdot e^{k \cdot t}

N (0) \cdot {1,06725}^{t} = N (0) \cdot e^{ln ({1,06725}^{t})} = N (0) \cdot e^{(ln (1,06725) \cdot t)} = N (0) \cdot e^{0,06508 \cdot t} = N (0) \cdot e^{k \cdot t}

mit

k = 0,06508

Auch hier wieder:
Wer's unbedingt will, darf's auch als

k = 6,51 %

verunstalten. Verständnis-fördernd oder einfacher wird's dadurch aber nicht.

Wichtiger für's Verständnis wäre sicherlich:
Nicht nur irgendwelche Zahlenwerte hinpollern,
sondern in ganzen Sätzen und Formeln auch vor Augen führen, was sie in diesem Zusammenhang bedeuten.
Dann wird es auch ersichtlicher, dass

a = 1,0672

und

k = 0,06508

nicht das ein oder andere "richtig(er)" oder ungeeigneter wäre,
sondern beides genau das gleiche beschreiben und erklären.

Roman-22

22:07 Uhr, 14.11.2025

>

für a kommt

6,72 %

raus und für

k 6,51 %

.
Falsch! Für a solltest du

1,0672

rausbekommen und wenn du das (unüblicherweise) in Prozent angegeben möchtest, dann sind das

106,72 %

>

Da sich Pilze kontinuierlich vermehren würde ich sagen, dass

6,51 %

richtig(er) ist.
"richtiger(er)" wofür??
Falls du die Aufgabe

a)

(täglicher Zuwachs) meinst, da wäre

6,72 %

die richtige Antwort.

>

und nach

20,7

Tagen ist die Hälfte befallen.
Ja, das ist richtig.

Der einfachste Ansatz führt nicht über irgend ein a oder

k,

sondern direkt über

N (t) = N_{0} \cdot {(\frac{18}{13})}^{\frac{t}{5}}

da sich in 5 Tagen die Infizierten ver-18/13-fachen. Also

N (t + 5) = N (t) \cdot \frac{18}{13}

.
wobei der Anfangswert

N_{0}

die

13 %

von der nicht näher spezifizierten Gesamtpflanzenpopulation ist.

Der tägliche Zuwachs kann dann leicht mit

\frac{N (1) - N_{0}}{N_{0}} = {(\frac{18}{13})}^{\frac{1}{5}} - 1 \approx 6,72 %

berechnet werden.

Der von dir zu wählende Rechengang hängt aber davon ab, wie ihr das im Unterricht gelernt habt.
Oft werden exponentielle Wachstumsvorgänge in der Schule mit Gewalt auf

N (t) = N_{0} \cdot e^{k \cdot t}

hingebogen und wenn das bei euch auch so war, dann solltest du das auch so rechnen. Am numerischen Ergebnis sollte das natürlich nichts ändern.

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