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Exponentielles Wachstum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentielles Wachstum

Dieda aktiv_icon

17:24 Uhr, 23.10.2011

Hallo,
ich versuche mir gerade zu erklären, wie man exponentielles Wachstum modelliert. Versuche das an folgender Aufgabe:
China und Indien hatten

1988

zusammen etwa

1,82 \cdot 10^{9}

Einwohner und

1989

etwa

1,875 \cdot 10^{9}

Einwohner.

a)

Modellieren Sie mithilfe dieser Daten das Bevölkerungswachstum durch exponentielles Wachstum.

(Ein paar Rechenansätze hab ich ja schon, mein Problem ist eher, dass ich gerade keinen richtigen Einstieg finde, weil ich überhaupt nicht weiß, auf was für eine Formel das nachher hinauslaufen soll. Ist das eine Funktion oder eine Folge? Wie sieht diese aus und was enstpricht darin was? Beim Text im Buch verstehe ich leider nur Bahnhof.
Hilfe!)

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Bin inzwischen weitergekommen:

y = c \cdot a^{t}

also:

a = 1,03

Aber wie schreibe ich jetzt das ganze als

f (x)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

DK2ZA aktiv_icon

19:37 Uhr, 23.10.2011

Die Formel für exponentielles Wachstum lautet immer so:

N (t) = N_{0} \cdot e^{a \cdot t}

N_{0}

ist die Bevölkerungszahl zur Zeit 0.

N (t)

ist die Bevölkerungszahl zur Zeit

t

e

ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

e = 2,71828 . .

.

Die gegebenen Werte werden in die Formel eingesetzt:

1,82 \cdot 10^{9} = N_{0} \cdot e^{a \cdot 1988}

1,875 \cdot 10^{9} = N_{0} \cdot e^{a \cdot 1989}

Aus der ersten Gleichung folgt

N_{0} = \frac{1,82 \cdot 10^{9}}{e^{a \cdot 1988}}

Dieses

N_{0}

in die zweite Gleichung einsetzen:

1,875 \cdot 10^{9} = \frac{1,82 \cdot 10^{9}}{e^{a \cdot 1988}} \cdot e^{a \cdot 1989}

\frac{1,875 \cdot 10^{9}}{1,82 \cdot 10^{9}} = e^{a \cdot 1989 - a \cdot 1988}

\frac{1,875 \cdot 10^{9}}{1,82 \cdot 10^{9}} = e^{a}

ln (\frac{1,875 \cdot 10^{9}}{1,82 \cdot 10^{9}}) = a

a = 0,029772 . .

N_{0} = \frac{1,82 \cdot 10^{9}}{e^{a \cdot 1988}} = 3,593038 . .

\cdot 10^{- 17}

GRUSS, DK2ZA

Dieda aktiv_icon

20:14 Uhr, 23.10.2011

Danke dir!
Hab inzwischen versucht, mir das selbst zu erklären und hab sowas raus:

y = c \cdot a^{t}

\to a = 1,03

f (x) = (1,82 \cdot 10^{9}) \cdot {1,03}^{x}

k = ln (a)

f (x) = (1,82 \cdot 10^{9}) \cdot e^{0,029 x}

Stimmt das und kann ich das so auch rechnen?

DK2ZA aktiv_icon

22:40 Uhr, 23.10.2011

Mache einfach mal die Probe und setze Werte für

t

ein!

GRUSS, DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

09:57 Uhr, 24.10.2011

Am besten gefällt mit diese Version:

N (t) = 1,82 \cdot 10^{9} \cdot {(\frac{1,875}{1,82})}^{t - 1988}

Für

t

ist die Jahreszahl einzusetzen.

GRUSS, DK2ZA

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