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Exponentielles Wachstum und Zerfall

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Was versteht man unter Exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall und wie rechnet man damit?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp) , Zeit t und Anfangsbestand
Gesucht: Bestand nach t-Zeitschritten

1.Beispiel: Zinzeszins

Gegeben: Ein Kapital von 5000€ wird 5 Jahre zu 7% verzinst. Über welches Kapital kannst Du nach der Zeit verfügen?

Hierfür wird die Formel für den Zinseszins benötigt:

K(n)=K(0)(1+p100)n

Dabei sind

K(0) das Anfangskapital
p der Zinssatz
n die Anzahl der Jahre (Zeit)

Setzt man die obigen Werte ein, ergibt sich:

K(5)=5000(1+7100)57012,76

Nach 5 Jahren verfügt man, bei einem Zinssatz von 7%, über 7012,76€
Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp) , Zeit t und Anfangsbestand
Gesucht: Verdoppelungszeit oder Zeit bis zu einem gegeben Bestand

1.Beispiel: Zinzeszins

Gegeben: Ein Kapital von 5000€ wird 5 Jahre zu 7% verzinst. Wie lange wird es dauern, bis sich das Kapital verdoppelt hat?

Hierfür wird die Formel für den Zinseszins benötigt:

K(n)=K(0)(1+p100)n

Dabei sind

K(0) das Anfangskapital
p der Zinssatz
n die Anzahl der Jahre (Zeit)
1+p100 wird auch Änderungsrate genannt

Für die Verdoppelungszeit gibt es eine einfach zu merkende Formel:

Verdoppelungszeit =log(2)log(a),

wobei a die Änderungsrate ist.

In diesem Fall ist a=1+p100=1+7100=1,07

n=log(2)log(1,07)10,24

Das Kapital verdoppelt sich also nach guten 10 Jahren.




2.Beispiel: Bevölkerungswachstum

Gegeben: Die Bevölkerung eines Landes nimmt jährlich um 2,3% zu. Die Bevölkerungszahl wächst also jährlich auf das 1,023- fache an. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes hat das Land 12 Mill. Einwohner. Wann hatte das Land 10 Mill. Einwohner, wann wird es 40 haben?

Folgende Funktion beschreibt das Bevölkerungswachstum:

N(t)=12(1,023)t

Für N(t) setzt man die Werte 10 und 40 ein und löst die Gleichung nach t auf:

10=12(1,023)t

1012=1,023t    |   Logarithmieren

log(1012)=tlog(1,023)

t=log(1012)log(1,023)-8,02

Vor ca. 8 Jahren hat die Bevölkerung 10 Mill. Menschen betragen.

Analoge Rechnung für N(t)=40


Gegeben: Zwei Bedingungen
Gesucht: Zuwachsrate a, Anfangsbestand B(0), Zerfallgesetz N(t)

1.Beispiel: organisches Wachstum

Gegeben: Nach 5 Tagen gibt es 200 Fliegen, nach 19 Tagen sind es bereits 625. Wie hoch ist die Zuwachsrate? Bestimmen Sie den Anfangsbestand.

Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum lautet:

B(t)=B(0)at

Dabei sind:

B(O) Anfangsbestand
a Zuwachsrate (Änderungsrate)
t Zeit

Für die obigen Wert gilt also:

B(5)=200=B(0)a5

B(19)=625=B(0)a19

625=200a14

a=625200141,0848

Mit der gefundenen Zuwachsrate ermitteln man leicht den Anfangsbestand:

200=B(0)a5

B(0)=200a5=2001,08485133,13133 Fliegen.



2.Beispiel: Radioaktiver Zerfall

Gegeben:Zu Beginn der Beobachtung besteht ein radioaktives Präparat aus einer Milliarde Atomen. Nach 7 Stunden sind nur noch 750 Millionen radioaktive Atome vorhanden. Ermittle das Zerfallsgesetz

Ansatz: N(t)=N(0)b-t

N(0)=1.000.000.000 ist der Anfangsbestand

t=7 Stunden

N(t=7)=750.000.000

750.000.000=1.000.000.000b-7

0,75=b-7

0,75=e-7lnb

ln0,75=-7lnb

lnb=ln0,75-70,04

be0,04

b1,04

Das Zerfallsgesetz lautet also:

N(t)=1.000.000.0001,04-t






Gegeben: Funktion (oder Funktionstyp), Anfangsbestand und Wachstumsrate
Gesucht: Zeit t

1.Beispiel:

Gegeben: In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt im Laufe einer Woche um 10% zu. Wie lange dauert es, bis die ganze Stadt (60000 Einwohner ) das Gerücht kennt? Die Aufgabe soll mit Hilfe des nat. Logarithmus, der nat. Basis e und mit dem Wachstumsfaktor k gelöst werden.

Der Funktionstyp der dieses Wachstum beschreibt lautet:

B(t)=B(0)elnkt

Dabei sind:

B(0) der Anfangsbestand
k die Wachstumsrate
t die Zeit ( Wochen hier)

Bei t=0 (also am Anfang) kennt das Gerücht ja nur eine Person. D.h. es gilt:

B(0)=1

In einer Woche nimmt die Anzahl der Leute, die das Gerücht gehört haben, um 10% zu, d.h. hier handelt es sich um eine Wachstumsrate von k=1,1

Die Wachstumsfunktion lautet somit:

B(t)=1eln(1,1)t

Um die Zeit t auszurechnen muss dann folgende Gleichung gelöst werden:

60000=eln(1,1)t

Man wendet nun den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an:

ln60000=lneln(1,1)t

ln60000=ln(1,1)tlne    |lne=1

t=ln60000ln(1,1)116

Nach ca. 116 Wochen kennt die ganze Stadt das Gerücht.



2.Beispiel: Wasserrosen

Gegeben:

In einer Flussniederung wird Kies ausgebaggert. Die Größe des Teiches verändert sich durch die Baggerarbeiten jede Woche und kann durch diese Vorschrift beschrieben werden: y=40x+100(x Anzahl Wochen, y Gröse des Teiches). Da der See später als Wassersportfläche genutzt werden soll, wird die Wasserqualität regelmäßig untersucht. Besonders genau wird auf Wasserrosen beobachtet, die sich sehr schnell vermehren. Die von den Wasserrosen bedeckte Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 3m2 groß, sie verdoppelt sich jede Woche (Tabelle: Anzahl x der Wochen - Größe y der Wasserosenfläche in m2). Setze die Wertetabellen bis zu 8 Wochen fort. Ermittle die dazugehörige Funktionsvorschrift. Setze die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Wann ist der ganze See mit Algen bedeckt?

Tabelle:

x:0|1|2|3|4|5|6|7|8
y:3|6|12|24|48|96|192|384|768

Die allgemeine Funktionsvorschrift des exponentiellen Wachstums lautet:

f(x)=cax

Mit Hilfe der Tabellenwerte bestimmt man c und a:

f(0)=ca0=c=3

f(1)=ca1=3a=6a=2

f(x)=32x

Zeichnet man die Graphen der Funktionen f(x)=40x+100 und f(x)=32x in einem gemeinsamen Koordinatensystem ein, dann liest man leicht ab wann der Teich komplett mit Wasserrosen bedeckt wird (Wert des Punktes wo sich die Graphen treffen)

t7 Wochen