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Exponentionelle in Arithmetische Form umwandeln

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: algebraisch, Analysis, arithmetisch, Eulerische Zahl, Komplex, Komplexe Zahlen, Trigonometrie, Zahl

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18:30 Uhr, 06.01.2019

Gegebn seien die komplexen Zahlen

z = \sqrt{3} + i

und

w = 3 e^{i (\frac{1}{3}) π}

also ich kenne die Definitionen z=x+iy

\Leftrightarrow z = r \cdot e^{i \cdot γ}

z

in die exponentielle Darstellungen zu bringen, muss der Winkel

γ

berechnet werden. Wie rechne ich den?

Und wie kriege ich die exponentielle Form

w

in die Normalform?

Kann mir es jemand bitte erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

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22:07 Uhr, 06.01.2019

z = \sqrt{3} + i

" Um

z

in die exponentielle Darstellungen zu bringen, muss der Winkel γ berechnet werden.
Wie rechne ich den?"

verwende die trigonometrische Darstellung

\to z = | z | \cdot (cos φ + i \cdot sin φ)

\to

1) \to

ermittle zuerst

| z | = r ...

. kannst du das ?

2) \to

klammere dann bei

z = \sqrt{3} + i

diesen Betrag von

z

aus

3) \to

dann hast du in der Klammer die beiden Werte

cos γ = . .

? und

sin γ = . .

...

. aus diesen beiden Werten kannst du eindeutig ein

γ \in [0; 2 π)

bestimmen

mach mal

\to . .

.
.

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22:50 Uhr, 06.01.2019

Also der Betrag ist doch wie folgt definiert:

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

z = r (cos γ + i \cdot sin γ)

ist doch die komplexe Zahl in trigonometrischer Form mit

| z | = r

Ich habe jetzt dementsprechend den Betrag

| z | = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4}

raus. Aber wie kriege ich damit den Winkel heraus?

Ich verstehe Ihren Zusammenhang zwischen dem 1. und 2. Schritt nicht. Den Betrag habe ich, aber trotzdem fehlen mir 2 Größen, nämlich

cos γ

und

sin γ

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23:00 Uhr, 06.01.2019

.
kannst du noch irgendwie herausfinden, welchen Wert

\sqrt{4}

in diesem Fall hat?

\to

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23:03 Uhr, 06.01.2019

\sqrt{4} = 2

:-D)

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23:13 Uhr, 06.01.2019

.
" Ja

\sqrt{4} = 2

"
.. gut !

" Aber wie kriege ich damit den Winkel heraus?"

→ das habe ich dir doch oben beschrieben .. versuche es also zu lesen :
nochmal: → klammere bei

\to . .

z = \sqrt{3} + i . .

. jetzt die

2 .

. ( also den

| z |) .

. aus:
was wird dann in der Klammer stehen ?

\Rightarrow z = \sqrt{3} + i = 2 \cdot (

+ i \cdot

? )

?

\to

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23:22 Uhr, 06.01.2019

also um die 2 aus der

\sqrt{3}

auszuklammern fällt mir echt kein vernünftiger Wert ein, außer vlt

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

und erst recht nicht für die imaginäre Zahl

i

Das wurde in der Vorlesung nicht behandelt, wie man

i

ausklammerten könnte, aber eventuell

2 \cdot \sqrt{- \frac{1}{2}},

sodass es

z = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{- \frac{1}{2}})

ergibt?

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23:39 Uhr, 06.01.2019

.
" wie man

i

ausklammerten könnte, "

kannst du denn wirklich nicht lesen ?

\to

du sollst NICHT

\to i

ausklammern - SONDERN

\to 2

sicher hast du doch im Kindesalter mitbekommen, dass zur Probe "ausmultipliziert" wird

\to

also : wenn du

\to z = 2 \cdot (a + b \cdot i)

ausmultiplizierst

\Rightarrow z = 2 \cdot a + (2 \cdot b) \cdot i

wie gross sind also a und

b

wenn

z = \sqrt{3} + 1 \cdot i . .

. rauskommen sollte?

\Rightarrow

neuer Versuch :

z = \sqrt{3} + 1 \cdot i = 2 \cdot [

+

\cdot i]

\to .

.
.

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23:43 Uhr, 06.01.2019

Es der Definition gehe ich davon aus, es soll einfach nur mir 2 multipliziert werden

Also

z = 2 \cdot (\sqrt{3} + i)

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23:50 Uhr, 06.01.2019

.
"Es der Definition gehe ich davon aus, es soll einfach nur mir 2 multipliziert werden"

... ... ... ... ... .

. NEIN

!!

denn

z = 2 \cdot (\sqrt{3} + i) .

. ergäbe beim Ausmultiplizieren

\to z = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot i

rauskommen sollte aber

\to z = \sqrt{3} + i

also nun : letzter Versuch

\to

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