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Extrema Mit Nebenbedingung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion Nebenbedingung Lagrange

Nemo102 aktiv_icon

20:23 Uhr, 17.07.2019

Hallo zusammen,

ich rechne gerade eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung und bekomme nur eine kritische Stelle, obwohl ich 2 (Minimum und Maximum) bekommen müsste da die Funktion stetig ist und die Nebenbedinung kompakt.
Die Funktion lautet

f (x, y) = x^{6} + y^{6} + x^{2} + y^{2}

und die Nebenbedingung lautet

x^{2} + y^{2} = 1

.
Ich habe ausgerechnet, dass

x = y

sein muss, da andere Stellen wie

(0,0)

die NB nicht erfüllen. Aus

x = y

kann man ableiten, dass

x = y = \frac{1}{\sqrt{2}}

bzw.

\frac{1}{- \sqrt{2}}

sei muss. Wenn ich diese beiden Punkte aber in

f

einsetze, erhalte ich 2 mal denselben Funktionswert. Jetzt frage ich mich, ob ich Stellen übersehen habe oder, ob ich etwas nicht beachte.
Ich hoffe mir kann einer helfen.

Viele Grüße
Nemo102

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

22:05 Uhr, 17.07.2019

.
"... dass

x = y

sein muss

...

. Wenn ich diese beiden Punkte

. .

. "

. .

. und was meinst du zu

y = x

..oder..

y = - x . .

. .

. dann bekommst du vier Punkte

\to

(x; y) =

(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}) . .

(\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}}) . .

(- \frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}) . .

(- \frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}})

"Wenn ich diese ->vier Punkte aber in

f

einsetze, erhalte ich

\to 4 \to

mal denselben Funktionswert!°

vier weitere Punkte, die dann auch

\to 4 \to

mal je den gleichen (aber anderen) Funktionswert liefern,
gibt es dann auch noch

. .

. siehe

\to

Respon

22:07 Uhr, 17.07.2019

"Jetzt frage ich mich, ob ich Stellen übersehen habe"
Offensichtlich.
Ich nehme an, du hast "Lagrange" angewendet.
Betrachte die Fälle

x = 0

bzw.

y = 0

getrennt voneinander.

x = 0 \Rightarrow y = \pm 1

(λ = - 4)

y = 0 \Rightarrow x = \pm 1

(λ = - 4)

usw.

HAL9000

07:38 Uhr, 18.07.2019

Ohne Lagrange: Unter Berücksichtigung der NB gilt

y^{2} = 1 - x^{2}

und damit dann

f (x, y) = x^{6} + (1 - x^{2})^{3} + 1 = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} (2 x^{2} - 1)^{2}

Das ganze wird offenbar minimal, wenn der quadratische Term rechts gleich Null wird, d.h.

∣ x ∣ = \frac{1}{\sqrt{2}}

(hat über NB

∣ y ∣ = \frac{1}{\sqrt{2}}

zur Folge) und maximal an den Randpunkten mit

x = 0

(mit

∣ y ∣ = 1

) sowie

∣ x ∣ = 1

(mit

y = 0

). Es wechseln sich im Verlauf dieser Kreislinie

x^{2} + y^{2} = 1

also jeweils vier Minima und vier Maxima ab.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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