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Extrema einer Funktion im Halbkreis

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Extrema, Funktion, halbkreis

anana123 aktiv_icon

13:37 Uhr, 09.06.2016

Hallo,

Ich hätte eine Frage bezüglich der Extremwerten.

Die Aufgabe lautet so:

Bestimme alle Minima und Maxima der Funktion

f (x, y) = x (x^{2} + y^{2} - 1)

auf dem abgeschlossenen Halbkreis mit Radius 1,(Mittelpunkt im Ursprung), der in der rechten Halbebene liegt.

Wie gehe ich da am besten vor?
Kann man die Extrema duch 1.und 2.Ableitung bestimmen oder muss man etwas berücksichtigen, da die Funktion auf dem Halbkreis ist?

Vielen Dank im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

ledum aktiv_icon

19:00 Uhr, 09.06.2016

Hallo
kennst du keine Methode Maxima mit Nebenbedingung zu bestimmen? welche Ableitungen meinst du?
Gruß ledum

anana123 aktiv_icon

00:03 Uhr, 10.06.2016

Ich weiß, dass man die erste Ableitung Null setzen soll und daraus die kritischen Punkten berechnen kann. Wenn man die kritischen Punkte in die 2.Ableitung einsetzt, kann man feststellen ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkt handelt.

Ist das richtig? Kann man das bei diesem Beispiel auch anwenden?

DerDepp aktiv_icon

15:04 Uhr, 10.06.2016

Hossa :-)

Du sollst alle Punkte (x,y) innerhalb und auf dem Rand eines Halbkreises betrachten. Der Mittelpunkt dieses Halbkreises ist der Urpsrung des Koordinatensystems. Der Halbkreis liegt in der rechten Hälfte (

x \geq 0

) der xy-Ebene. Diese Rahmenbedingungen kannst du mathematisch prima zusammenfassen, indem du Polarkoordinaten verwendest:

x = r \cdot \cos ϕ; y = r \cdot \sin ϕ; r \in [0; 1]; ϕ \in [- \frac{π}{2}; + \frac{π}{2}]

Die Funktion

f (x, y)

kannst du nun als Funktion

f (r, ϕ)

schreiben:

f (x, y) = x (x^{2} + y^{2} - 1) = r \cos ϕ \cdot ((r \cos ϕ)^{2} + (r \sin ϕ)^{2} - 1) = r \cos ϕ \cdot (r^{2} - 1) = f (r, ϕ)

Bei einem lokalen Extremum am Ort

(r_{0}, ϕ_{0})

verschwinden alle partiellen Ableitungen von

f (r_{0}, ϕ_{0})

. Das heißt im Umkehrschluss, dass nur die Orte

(r_{0}, ϕ_{0})

als Kandidaten für lokale Extrema in Frage kommen, bei denen alle(!) partiellen Ableitungen gleich 0 sind. Mal sehen, was wir finden:

0 = \frac{\partial f}{\partial r} = 3 r^{2} \cos ϕ - \cos ϕ = (3 r^{2} - 1) \cos ϕ \Rightarrow r = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \lor ϕ = \pm \frac{π}{2} \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{3}}

0 = \frac{\partial f}{\partial ϕ} = - r \sin ϕ \cdot (r^{2} - 1) \Rightarrow r = 0 \lor r = \pm 1 \lor ϕ = 0 \Rightarrow ϕ = 0

WICHTIG ist hiebei, dass die Funktion

f (r, ϕ)

an den Rändern nicht differenzierbar ist. Die Lösungen, bei denen

r

oder

ϕ

auf den Grenzen des Definitionsbereichs liegen (also auf dem Rand des Halbkreises) oder außerhalb des Definitionsbereichs (wie

r = - 1 / \sqrt{3}

), fallen daher weg. Das führt dazu, dass

\partial f / \partial r

nur für

r = 1 / \sqrt{3}

verschwindet und

\partial f / \partial ϕ

nur für

ϕ = 0

. Wir haben also einen einzigen Kandidaten für ein Extremum gefunden:

(r_{0}, ϕ_{0}) = (\frac{1}{\sqrt{3}}; 0)

Jetzt hast du das "Innere" des Halbkreises abgeprüft und genau einen Kandidaten für ein Extremum gefunden. Am "Rand" des Halbkreises können aber noch globale Extrema vorliegen. Das heißt, du musst den Rand gesondert untersuchen.

Auf dem Bogen des Halbkreises gilt

r = 1

und damit

f (r = 1, ϕ) = 0

. Der Durchmesser des Halbkreises liegt auf der y-Achse, d.h

ϕ = \pm π / 2

. Auch hier gilt

f (r, ϕ = \pm π / 2) = 0

. Auf dem gesamten Rand des Halbkreises ist also die Funktion

f (r, ϕ) = 0

. Innerhalb des Halbkreises gilt

r \in] 0; 1 [

und

ϕ \in] - π / 2; + π / 2 [

, sodass:

f (r, ϕ) = \underset{> 0}{\underset{⎵}{r}} \cdot \underset{< 0}{\underset{⎵}{(r^{2} - 1)}} \cdot \underset{> 0}{\underset{⎵}{\cos ϕ}} < 0

im Inneren des Halbkreises

Damit hast du als Ergebnis:

Der gesamte Rand des Halbkreises ist ein globales Maximum mit

f = 0

. Im Inneren des Halbkreises liegt an der Stelle

(r_{0}; ϕ_{0}) = (1 / \sqrt{3}; 0)

bzw.

(x_{0}, y_{0}) = (1 / \sqrt{3}; 0)

ein Extremum, das ein Minimum sein muss, weil

f

überall im Inneren des Halbkreises kleiner als 0 ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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