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Extrema unter Nebenbedingungen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, polynom

Copex aktiv_icon

15:15 Uhr, 13.08.2018

Hallo,

erneut brauche ich Hilfe beim Auflösen eines LGS.
Vorab zur Aufgabe: Bestimmung des größten und keinstens Wertes der Funktion

f (x, y) =

4x^2-3xy auf Kreisscheibe mit Radius 1 um den Ursprung

(x^{2} + y^{2} \leq 1)

.

Erstmal mögliche Stellen im Kreisinneren bestimmt:

\nabla f = [8 x - 3 y, - 3 x] = 0 \to

Gibt möglichen Punkt

(0,0)

Nun aber die Randuntersuchung mit Nebenbedingung

g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 = 0

Also habe ich nach Lagrange ja folgendes LGS:

8 x - 3 y = λ 2 x

- 3 x = λ 2 y

x^{2} + y^{2} - 1 = 0

(In der Musterlösung wird nun die zweite Gleichung nach

x

umgeformt und in die erste eingesetzt, jedoch möchte ich gerne das

λ

weg haben!)

Wenn ich nun versuche zu erste durch die zweite Gleichung zu teilen komme ich auf

\frac{8 x - 3 y}{- 3 x} = \frac{x}{y}

- 3^{2} + 8 x y - 3 y^{2} = 0

Ab hier weiß ich nicht, wie ich die Gleichung weiter auflösen soll.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ledum aktiv_icon

15:34 Uhr, 13.08.2018

Hallo
warum einfach, wenn es auch umständlich geht? Aber du hast 8xy-3(x^2+y^2)=0 und

x^{2} + y^{2} = 1

also 8xy=3 . weiter kommst du wohl ohne

λ

nicht.
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

15:40 Uhr, 13.08.2018

Hallo,

ich denke du meinst

3 x^{2} + 8 x y - 3 y^{2} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} + \frac{8}{3} x y - y^{2} = 0

.
Das ist eine quadratische Gleichung in

x

,
also kannst du die pq-Formel benutzen,
um die beiden von

y

abhängigen

x

-Werte zu erhalten.

Gruß ermanus

Roman-22

15:52 Uhr, 13.08.2018

Etwas einfacher ist es vielleicht, wenn du die Nebenbedingung nach

y = \pm \sqrt{1 - x^{2}}

auflöst und in

3 x^{2} + 8 x y - 3 y^{2} = 0

(auf den Vorzeichenfehler und das fehlende

x

hat dich ermanus ja schon aufmerksam gemacht) einsetzt. Das liefert dann die zwei Maxima und die beiden Minima auf der Durchdringung der Fläche mit dem Zylinder. Der Ursprung ist ja nur ein Sattelpunkt.

Natürlich kannst du dir Lagrange ganz sparen, wenn du gleich die Nebenbedingung wie oben beschrieben umformst und in

f (x, y)

einsetzt. Liefert eine banale Extremwertsaufgabe in einer Variablen. Also ableiten und Null setzen und fertig.

EDIT: ermanus Vorschlag scheint, wenn du den Weg über Lagrange gehen möchtest, doch vorteilhafter zu sein, das hier die quadratische Gleichung "schönere" Lösungen hat, du dich also letztendlich nicht mit einer Wurzelgleichung rumschlagen musst.

Copex aktiv_icon

16:19 Uhr, 13.08.2018

Danke erstmal für die zahlreichen Antworten!

Nun noch eine Rückfrage:

Wie kann ich bei der Gleichung

x^{2} + \frac{8}{3} x y - y^{2} = 0

die pq-formel anwenden?
Ist einfach

p = \frac{8}{3}

und

q = - 1

? Mir war bisher nicht bewusst, dass man diese Formel auch bei Polynomen mit mehreren Variablen anwenden kann.

Viele Grüße

Roman-22

16:24 Uhr, 13.08.2018

>

Ist einfach

p = 83

und q=−1?
Nein!
Es kommt darauf, wonach du lösen möchtest, nach

x

oder nach

y

.
ermanus hat vorgeschlagen nach

x

zu lösen und da wäre dann eben

p = \frac{8}{3} y

und

q = - y^{2}

.

Du bekommst dann zwei Lösungen für

x

und natürlich ist

x

da von

y

abhängig!
Du bekommst also noch keine konkreten Werte wie

x = \frac{\sqrt{10}}{10}

oder Ähnliches.

Copex aktiv_icon

16:42 Uhr, 13.08.2018

Okay!

Nochmals Danke für die vielen Tipps! Bin nun auf beiden Wegen zum gesuchten Ergebnis gekommen.

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