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Extrema unter Nebenbedingungen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

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16:20 Uhr, 04.09.2018

Hallo,

erneut eine Frage zu Extrema unter Nebenbedingungen.

Auch diesmal geht es eher darum, wie genau das Gleichungssystem zu lösen, bzw. die Ergebnisse zu Interpretieren sind.

Es geht um die Aufgabe, alle Extrema der Funktion

f (x, y) = e^{x^{2} - y^{2}}

unter der Nebenbedingung

g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 = 0

zu finden, und (soweit möglich) die Methode von Lagrange zu verwenden.

Erstmal Gradienten bestimmt:

\nabla f (x, y) = [2 x e^{x^{2} - y^{2}}, - 2 y e^{x^{2} - y^{2}}]

\nabla g (x, y) = [2 x, 2 y]

Das Gleichungssystem lautet also:

2 x e^{x^{2} - y^{2}} = λ \cdot 2 x

- 2 y e^{x^{2} - y^{2}} = λ \cdot 2 y

x^{2} + y^{2} - 1 = 0

Nun bin ich etwas hilflos beim Auflösen dieses Gleichungssystems:

λ

scheint Anscheinend eimal

e^{x^{2} - y^{2}}

und einmal

- e^{x^{2} - y^{2}},

sonst wären die Gleichungen nicht erfüllt, jedoch müsste

λ

doch für jede Zeile gleich sein?

Teile ich nun Gleichung 1 und

2,

so komme ich auf

- \frac{x}{y} = \frac{x}{y} \to - x = x

. Wie mich das weiter bringt, weiß ich jedoch nicht.

Es wäre toll, wenn mir jemand einen Anstoß in die richtige Richtung geben kann!

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

abakus

16:49 Uhr, 04.09.2018

"−x=x. Wie mich das weiter bringt..."
Aus -x=x folgt x=0.
Ich habe allerdings deinen vorherigen Weg nicht nachvollzogen.

Vorweg: Ich weiß, dass das eine Übungsaufgabe zu Lagrange ist und das Verfahren deshalb verwendet werden soll. Ich mache es trotzdem mal ohne Lagrange.
Die Nebenbedingung lautet umgestellt: y²=1-x².
Das kann man in die Fkt. einsetzen und erhält

f (x) = e^{x ² - (1 - x ²)} = e^{2 x ² - 1}

.
Das ist minimal, wenn der Exponent minimal ist (und er ist minimal für x=0).
Das ist maximal, wenn der Exponent maximal ist, und er ist maximal, wenn x² im Rahmen der Nebenbedingungen so groß wie möglich ist. Da x² maximal 1 sein darf, hat man das Maximum für x=1 und für x=-1.
Nun sieh mal, ob sich das mit deinen Ergebnisse deckt.

Copex aktiv_icon

17:32 Uhr, 04.09.2018

Eine Musterlösung für diese Aufgabe habe ich leider nicht, jedoch bekomme ich als Ergebnis:

Maxima bei

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix})

Minima bei

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})

Habe mir den Konturplot bei Wolframalpha dieser Funktion angeschaut und diese Punkte scheinen zu passen.

Die Methode mit dem Einsetzen der Nebenbedingung in die Ausgangsfunktion ist bei dieser Aufgabe wirklich sehr viel schneller und angenehmer zu rechnen, als es die Lagrange Methode meistens ist.
Wäre aber trotzdem gut zu wissen, ob (eher wie) man diese Aufgabe auch mit der Lagrange Methode lösen kann.

Viele Grüße und besten Dank

pwmeyer aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.09.2018

Hallo,

der Fehler bei Deinen Überlegungen war, dass der Widerspruch hinsichtlich

λ

nur dann auftritt, wenn

x \neq 0

und

y \neq 0

ist - denn nur dann kannst Du

x

und

y

kürzen.

Also machst Du eine Fallunterscheidung:

- x \neq 0

und

y \neq 0 :

Widerspruch

- x = 0 :

Dann ist

y = 1

oder

y = - 1

wegen der Nebenbedingung

- y = 0 :

dann ist

x = 1

oder

x = - 1

wegen der Nebenbedingung

Gruß pwm

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