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Extremalaufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: halbkreis, Rechteck

anonymous

16:17 Uhr, 23.08.2009

Hallo,
Ich habe mal eine Frage bei meinen Hausaufgaben. Vllt kann einer mal darüber gucken und gucken ob ich das richtige ergebnis raushab.

also die aufgabe lauetet:
Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang

u

des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird."

Der Umfang soll bei mir

16 m

betragen:

1 .)

EXTREMALBEDINGUNG:
Der Flächeninhalt soll extremal werden. Der Flächeninhalt von dem, rechteck berechnet man mit

A = a \cdot b,

Aber da

a = 2 r

ist kann man schreiben

A = 2 r \cdot b .

und der Flächeninhalt des halbkreises berechne man mit

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} .

. so das man den gesamten FLächeninhalt mit der Formel

: Ages=

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} + 2 r \cdot b

berechnen kann!

2 .)

NEBENBEDINGUNG:
Der Umfang beträgt

16 m .

dann ergibt sich als formel

16 = π \cdot r + 2 r + 2 b

a = 2 r

ist.
dann kann man diese formel so umstellen das

b = 8 - \frac{1}{2}

pir-r ist,oder?

3.)ZIELFUNKTION

Ages=

\frac{1}{2}

pir^2+2r*b

= \frac{1}{2}

pir^2+2r*(8-1/2pi*r-r)
wenn man dann ausrechnet lautet die Zielfunktion:

Ages.=(1/2pi-2)*r^2+16r oder habe ich bis dahin schon was falsch gemacht?!

4 .)

Extremwerte:

die erste ableitung lautet dann

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

anonymous

16:22 Uhr, 23.08.2009

Die ableitung lautet dann

(- π - 4) \cdot r + 16

wenn ich die dann

= 0

setze bekomm ich für

r = 2,240396614

raus

die zweite ableitun lautet dann

(- π - 4)

und wenn ich

r

dann einsetzte bekomm ich einen hochpunkt raus

5 .)

die interpretation

Der größte Flächeninhalt ist errreicht

e \cap a =

4,48(doppelte radius ) ist un

b = 2,240396614 m

beträgt. Der flächeninhlat beträgt dann

17,92317291 m^{2}

Ich hoffe es kann mir einer helfen und kurz drübergucken und ob die ergebnisse alle stimmen?!
LG

A ℕ E

Shipwater aktiv_icon

20:09 Uhr, 23.08.2009

Der Flächeninhalt stimmt, dieser ist

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} + 2 r \cdot b

Der Umfang stimmt auch, dieser ist:

π \cdot r + 2 r + 2 b = 16

Daraus ergibt sich, wie du es auch richtig hast:

\frac{16 - π \cdot r - 2 r}{2} = b = 8 - \frac{π \cdot r}{2} - r = 8 - r (\frac{π}{2} + 1)

Wenn man das in die Flächeninhaltsformel einsetzt ergibt sich:

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} + 2 r \cdot (8 - (\frac{π}{2} + 1) r)

Wenn man das auflöst kommt man aber zu:

\frac{π \cdot r^{2}}{2} + 16 r - (\frac{π}{2} + 1) 2 r^{2} =

(\frac{π}{2} - (π + 2)) \cdot r^{2} + 16 r

(\frac{π}{2} - π - 2) \cdot r^{2} + 16 r

(- \frac{π}{2} - 2) r^{2} + 16 r

Das ist dein Fehler gewesen.

Die Ableitung davon ist

(- \frac{π}{2} - 2) \cdot 2 \cdot r^{2 - 1} + 16 \cdot 1 \cdot r^{1 - 1} = (- π - 4) \cdot r + 16

Wenn man das null setzt und nach

r

auflöst, erhält man:

(- π - 4) \cdot r + 16 = 0

(- π - 4) \cdot r = - 16

r = \frac{- 16}{- π - 4} = \frac{- 16}{- (π + 4)} = \frac{16}{π + 4} \approx 2,24

a = 2 r = \frac{32}{π + 4} \approx 4,48

b = 8 - (\frac{16}{π + 4}) (\frac{π}{2} + 1) = 8 - (\frac{8 π}{π + 4} + \frac{16}{π + 4}) = 8 - (\frac{8 π + 16}{π + 4}) = \frac{8 \cdot (π + 4) - 8 π + 16}{π + 4} = \frac{8 π + 32 - 8 π + 16}{π + 4} = \frac{16}{π + 4} = r

Das stimmt jetzt aber wieder mit deinem Ergebnis. Dann war das wohl oben nur ein Schreibfehler von dir.

Gruß Shipwater

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