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Extremalaufgabe Frage zu Gewinnfunktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Erlös, Extremalaufgabe, Extremwertaufgabe, Gewinn, Umsatz

hokage aktiv_icon

19:36 Uhr, 02.11.2010

Hi Leute,

Ich habe es grad etwas eilig und da ich etwas auf dem Schlauch stehe, wende ich mich kurz an euch.
Folgendes Problem:

Der Supermarkt um die Ecke verkauft Fruchtjoghurt für 1,80€ je Becher. In einer Woche werden

1000

Becher verkauft. Mr. Cash schätzt, dass jede Preissenkung um 0,10€ eine Absatzerhöhung um

100

Becher nach sich zieht (jede Preiserhöhung um 0,10€ einen Absatzrückgang um

100

Becher). Der niedrigst mögliche Preis beträgt 1,20€ und deckt gerade die Kosten.

1)

Wie hoch muss der Joghurtpreis sein, damit Mr. Cash den höchsten Erlös hat?

2)

Bei welchem Verkaufspreis pro Joghurtbecher wird der Gewinn maximal?

. .

. so hier jetzt mein Ansatz:

1)

y = (1,8 \cdot 0,1 x) \cdot (1000 - 100 x)

...ausmultiplizieren...

y' = - 20 x - 80

y' = 0

- 20 x - 80 = 0

\Rightarrow x = - 4

setze ich jetzt

- 4

für

x

ein, so erhalte ich den maximalen Erlös und auch den dementsprechend maximalen Preis von 1,4€.

Allerdings frage ich mich, wie ich jetzt die Gewinnfunktion aufstellen soll.
Normal würde ich von obiger Funktion einfach nur die Kosten abziehen, und die betragen ja 1,2€ mal

1600

.
Da dies jedoch eine normale Zahl ist, würde sie ja bei der Ableitung entfallen und keine Auswirkungen auf die Rechnung haben. Es würde also wieder

- 4

für

x

und dementsprechend 1,4€ für den optimalen Joghurtbecherpreis rauskommen.

Ist das so richtig, oder bin ich auf dem Holzweg?
Danke für eure Hilfe :-D)

grüße hokage

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

munzlmunz aktiv_icon

20:25 Uhr, 02.11.2010

also ich kann vorab nur schonmal sagen, dass bwl bei mir schon wieder etwas her ist, aber folgendes sind meine ergebnisse:

E (x) = - 1000 x^{2} + 2800 x

E

maximal ist für

x = 1.4

das hast du ja auch...

dann habe ich die kosten funktion aufgestellt(bin jetzt mal von einer ursprungsgerade ausgegangen)

K (x) = 1.2 \cdot x

damit der gewinn maximal ist muss K'(x)=E'(x)sein
(alternative: du stellst

G (x) = - 1000 x^{2} + 2798.8 x

auf)

das problem ist bloß, dass mir mein ergebnis nicht ganz sauber vorkommt...
ich komme nämlich dann auf einen preis von

1.3994 . .

hokage aktiv_icon

20:44 Uhr, 02.11.2010

Danke dir schon einmal für deine Antwort.
Dann stimmen meine Ergebnisse im Prinzip ja.

Ich frage mich jetzt nur noch, wie du auf deine Erlösfunktion gekommen bist und warum deine Kostenfunktion

k (x) = 1,2 x

ist. Ich meine

x

ist ja dann der optimale preis, so wie auch bei der Erlösfunktion, allerdings würde dies ja keinen Sinn ergeben, da dann am Ende nur Kosten von ein paar Euro anfallen.

Vll. habe ich ja einen Denkfehler, aber so wirklich verstehe ich deine beiden Funktionen noch nicht, auch wenn erstere augenscheinlich zum richtigen Ergebnis führt.

Danke schon einmal für eine Erklärung :-D)

grüße hokage

munzlmunz aktiv_icon

21:10 Uhr, 02.11.2010

hmm wie gesagt, ich war auch schon mal sicherer in diesen dingen...

also es handelt sich hier um gewinnmaximierung bei einem monopolisten(mr. cash kann mit dem preis die absatzmenge diktieren)

die preis-absatzfunktion die ich aufgestellt habe war:

y = - 1000 x + 2800

(hier steht

x

für den preis,

y

für die menge)
daraus folgt dann die

E (x),

nämlich menge mal preis, also

E (x) = (- 1000 x + 2800) \cdot x = - 1000 x^{2} + 2800 x

aus der angabe, dass für einen preis von

1,2

die kosten gerade so gedeckt sind habe ich geschlossen, dass die stückkosten gleich

1,2

sind
daher

K (x) = 1.2 x

hmm hier könnte dann der hund begraben sein, da in

k (x)

das

x

für die menge steht...
ich schaus mir schnell ncohmal an dann schreib ich nochmal...

munzlmunz aktiv_icon

21:12 Uhr, 02.11.2010

ah ja die

p - a

funktion hab ich falsch rum aufgestellt, sie muss heißen

y = - x + 2.8

dann ist

E (x) = - x^{2} + 2.8

hier kommt

1.4

raus als optimaler preis

munzlmunz aktiv_icon

21:15 Uhr, 02.11.2010

das vorherige ergebnis ist aber meiner meinung nach immer noch richtig:-)

hokage aktiv_icon

21:23 Uhr, 02.11.2010

Ok...

allerdings verstehe ich folgendes immer noch nicht:

In deinem vorletzten Post schreibst du

y = - x + 2,8

und

E (x) = - x^{2} + 2,8

.

Hinter der

2,8

fehlt jedoch noch ein

x

denke ich.

Und erweitere ich diese Funktion mit

1000,

dann habe ich wieder die Erlösfunktion:

E (x) = - 1000 x^{2} + 2800 x

Und da sahst du oben ja bereits schon geschrieben.

Wenn ich aber den Text der Aufgabe lese, dann verstehe ich nicht, wie man auf diese Erlösfunktion kommt... Woher kommt die

2800,

oder die

2,8 u . s . w

.

Und das zweite Problem hast du ja auch schon erkannt. in der Erlösfunktion ist dein

x

der Preis und in der Kostenfunktion ist es auf einmal die Menge. Irgend etwas kann da ja so nicht stimmen...

Eventuell kannst du mich ja mal ganz genau aufklären, welche Gedankengänge du beim erstellen deiner Erlösfunktion hattest.
Auch anhand der im Text verwendeten Zahlen und werte, denn evtl. verstehe ich so deine Vorgehensweise und komme selber zu weiteren Ideen.

Danke dir.

grüße hokage

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