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Extremalaufgabe
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags:
 
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Eine Kartonagenfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlig werden, sollen noch 2 Bedingungen erfüllt sein:
1. Die Länge soll nicht größer als 200cm sein. 2. Länge Umfang der quadratischen Seitenfläche soll 360cm groß sein. Aufgabe: Welche Maße hat das Paket mit dem maximalen Volumen und wie groß ist das maximale Volumen? |
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Kann mir niemand helfen ??? |
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Die Pakete sind Quader mit den Kantenlängen a, a und b (b ist die Länge). Das Volumen ist V = a*a*b = a^2 * b. Der Umfang der quadratischen Seitenflächen ist jeweils 4*a.
2. Bedingung:
4*a + b = 360cm b = 360cm - 4*a
Das Volumen ist dann
V(a) = a^2 * (360 - 4*a)
V(a) = 360*a^2 - 4*a^3
V '(a) = 720*a - 12*a^2
Ableitung gleich Null setzen:
720*a = 12*a^2 720 = 12*a a = 60 (cm)
Die zweite Ableitung ist
V ''(a) = 720 - 24*a = 720 - 24*60 = -720 < 0
also haben wir ein Maximum.
b = 360cm - 4*a = 120cm
GRUSS, DK2ZA
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Vielen Dank. |
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