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Extremalaufgabe (quad. Fkt. ohne Ableitung)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Extremalaufgabe, quadratische Ergänzung., Quadratische Funktion

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Albertos

Albertos aktiv_icon

13:33 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Hi alle zusammen,

Ich scheitere gerade an der folgenden Aufgabe (soll mit Scheitelpunkt gelöst werden):
Eine

2 m

lange Schnur wird einmal durchschnitten. Das eine Teilstück wird zu einem
Quadrat, das andere zu einem gleichseitigen Dreieck gelegt.
Wo muss der Schnitt erfolgen, damit der gesamte Flächeninhalt minimal wird?

Mein bisheriger Ansatz:

a =

Seitenlänge Quadrat

b =

Seitenlänge gleichseitiges Dreieck

4 a + 3 b = 2

und

a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} \sqrt{3} = A

mit:

b = \frac{2 - 4 a}{3}

Kann mir jemand helfen wie ich auf den Scheitelpunkt komme?
Jegliche Rechnungen sind bisher im Sand verlaufen und ich weiß einfach nicht was ich falsch mache.

Grüße Albertos

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.06.2022

Antworten

. .

. du ersetzt

b

in der Flächenformel durch dein

b = \frac{2 - 4 a}{3}

Dann hast du nur eine Variable

a

in deiner Flächenformel:

A = f (a)

Dann setzt du

f' (a) = 0

und bestimmst somit dein

a

.

;-)

Albertos

Albertos aktiv_icon

15:00 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Hey, und wie kann ich die Aufgabe ohne Ableitung mit Scheitelpunkt lösen?

Antwort

abakus

15:17 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Indem du den quadratischen Term (den du offensichlich noch nicht hast ??) in die Scheitelpunktsform umwandelst.

Albertos

Albertos aktiv_icon

15:43 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Ich habe:

A = a^{2} + \frac{1}{4} {(\frac{2 - 4 a}{3})}^{2} \sqrt{3}

aber ich bekomme die Gleichung nicht so umgeformt, dass ich eine Scheitpunktform erhalte...

A = a^{2} + \frac{1}{4} (\frac{4 - 16 a + 16 a^{2}}{9}) \sqrt{3} = a^{2} + (\frac{1 - 4 a + 4 a^{2}}{9}) \sqrt{3}

= \frac{9 a^{2}}{9} + \frac{\sqrt{3} - 4 \sqrt{3} a + 4 \sqrt{3} a^{2}}{9} = \frac{1}{9} (9 a^{2} + 4 \sqrt{3} a^{2} - 4 \sqrt{3} a + \sqrt{3})

= \frac{1}{9} ((9 + 4 \sqrt{3}) a^{2} - 4 \sqrt{3} a + \sqrt{3})

wie rechne ich hier weiter?

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

16:37 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Hallo
uniformen zu A*(x^2+2Bx)+C
dann quadratische Ergänzung
A(x^2+2Bx+B^2)+C-AB^2=A*(x+B)^2+C-AB^2
damit hast du den Scheitel

(- B,

C-AB^2)
( die

\frac{1}{9}

auszuklammern nützt nicht viel )
Gruß lul

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

16:37 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Hallo
uniformen zu A*(x^2+2Bx)+C
dann quadratische Ergänzung
A(x^2+2Bx+B^2)+C-AB^2=A*(x+B)^2+C-AB^2
damit hast du den Scheitel

(- B,

C-AB^2)
( die

\frac{1}{9}

auszuklammern nützt nicht viel )
Gruß lul

Albertos

Albertos aktiv_icon

17:35 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Ich hab jetzt weiter wie folgt:

\frac{1}{9} ((9 + 4 \sqrt{3}) a^{2} - 4 \sqrt{3} a + \sqrt{3}) = \frac{9 + 4 \sqrt{3}}{9} (a^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}} a + \frac{\sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}})

= \frac{9 + 4 \sqrt{3}}{9} ({(a - \frac{2 \sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}})}^{2} + \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}})

= \frac{9 + 4 \sqrt{3}}{9} {(a - \frac{2 \sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}})}^{2} + \frac{21 - 24 \sqrt{3}}{837}

Passt das so?

Dann wäre jetzt mein Scheitel bei

a = \frac{2 \sqrt{3}}{9 + 4 \sqrt{3}}

oder?
Und da es im Definitionsbereich liegt auch mein gesuchtes Minimum des Flächeninhalts?

Antwort

Roman-22

17:52 Uhr, 24.06.2022

Antworten

>

Dann wäre jetzt mein Scheitel bei

a = 239 + 43

oder?
Richtig, ja!
Da aber die Frage nach der Position des Schnitts ist, musst du noch mit 4 multiplizieren.
Schnitt also rund

87 c m : 113 c m

Frage beantwortet

Albertos

Albertos aktiv_icon

18:03 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Ich danke euch :-)
War langsam echt am verzweifeln.

Frage beantwortet

Albertos

Albertos aktiv_icon

18:03 Uhr, 24.06.2022

Antworten

Ich danke euch :-)
War langsam echt am verzweifeln.

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