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Extremalprobleme
Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe
Tags: Extremwertproblem
 
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wir haben heute als hausaufgabe folgendes aufbekommen: Ein oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll sl hergestellt werden, dass bei einem Rauminhalt von 10dm³ die Oberfläche minimal ist. Welche Maße muss der Karton haben? sone ähnliche aufgabe haben wir heute schon gerechnet, aber ich verstehe nichts davon. wäre echt nett, wenn mir einer die lösung hier her schreiben könnte und auch ein paar infos (warum, wir das so gemacht). vielen dank schonmal! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, solche Extremwertaufgaben funktionieren immer so, dass du zuerst einmal eine Funktion aufstellst, die deine Größe, die du maximieren oder minimieren willst, beschreibt. In Deinem Fall also die Oberfläche des Kartons mit quadratischer Grundfläche: O(a,b)=a²+4*a*b, wenn a Grundseite und Höhe Meist ist diese Größe von mehreren Parametern abhängig. In Deinem Fall nämlich von der Länge der Grundseite und von der Höhe. Daher wird immer noch eine zweite Angabe (Nebenbedingung) gemacht, die die beiden Parameter irgendwie ins Verhältnis zueinander setzt. In Deinem Fall wird eine Bedingung für das Volumen gestellt, auch für diese stellt man eine Formel auf: V=a²*b=10dm³ Diese Formel kannst du nun nach einer Variable umstellen und in die Hauptbedingung einsetzen. In Deinem Fall: b=10/a² Also: O(a)=a²+40/a Nun hast Du eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt. Um ein Minimum dieser Funktion zu finden, musst Du nun die erste Ableitung gleich 0 setzen und mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob wirklich ein Minimum vorliegt. Dies ist dasselbe Prinzip wie bei einer normalen Kurvendiskussion, wenn Extrempunkte gesucht werden. Zusammenfassend: - Hauptbedingung aufstellen (hängt meist von mehreren Paramtern ab und daher macht es keinen Sinn, nach einer Variablen abzuleiten), deswegen: - Nebendingung aufstellen, umformen, und durch Einsetzen eine Funktion erhalten, die nur noch von einer Variablen abhängt, nach der man dann ableiten kann. Gibt's Fragen? Schaffst Du die Ableitung von und das Lösen der Gleichung selber? |
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