Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extremalprobleme

Extremalprobleme

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Extremalprobleme lösen

Cherry-93 aktiv_icon

14:26 Uhr, 13.11.2010

Könnte einer mir helfen, diese Aufgabe zu lösen? Ich hab' auch ein Bild hinzugefügt.

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels

20 m

betragen soll?

Ich hab' es etwas versucht...:
(1)

A = (h \cdot 2 r) + \frac{1}{2} \cdot π \cdot

r² (Hauptbedingung)
(2)

2 h + 2 r \cdot π = 20

(Nebenbedingung)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

nieaufgeber aktiv_icon

14:31 Uhr, 13.11.2010

NB:

2 h +

(2r⋅π)/2=20 (Nebenbedingung)

Cherry-93 aktiv_icon

14:51 Uhr, 13.11.2010

achso ok durch 2

Cherry-93 aktiv_icon

09:06 Uhr, 16.11.2010

okay... hier ist mein eigener Lösungsvorschlag:
Haupbedingung:

A =

Fläche des Rechtecks mit aufgesetzem Halbkreis
(1)

1 (h, r) = (h \cdot 2 r) + \frac{1}{2} \cdot π \cdot

r²

Nebenbedingung:
Umfang des Tunnels=

20 m

(2)

2 h + 2 r \cdot π = 20

Zielfunktion:
auflösen von

(2)

nach

h

h = 10 - 0,5 \cdot r \cdot π

einsetzen in (1)

A = ((10 - 0,5 \cdot r \cdot π \cdot 2 r) + \frac{1}{2} \cdot π \cdot

r²) |ausmultiplizieren
(3)

A (r) = 20 r - 1 r \cdot π + \frac{1}{2} π \cdot

r²

Extremalrechnung:
Lage des Extremums:

A' (r) = 20 - π + π \cdot r = 0

r = \frac{π - 20}{π}

r ~ - 5,37

einsetzen in

(2) \to h ~ 18,44

Art des Extremums:

A'' (r) = π

A'' (18,44) = π > o \to

Minimum

Ergebnisse:

r = - 5,37

einsetzen in (3)

h = 18,44

Amax ~ -45,23m²

Ist das so richtig? Ich hab' so meine Zweifel, weil dort negative Werte rasukommen

: S

anonymous

11:29 Uhr, 16.11.2010

hi
fehler 1 zeile vor

(3)

bei richtigem ausmultiplizieren lösung

r = \frac{20}{π}

ciao

⊙ k

Cherry-93 aktiv_icon

12:21 Uhr, 16.11.2010

oh, und wie lautet

(3)

wenn man es richtig auspultipliziert? und was ist dann die Ableitung?

danke :-)

Cherry-93 aktiv_icon

13:59 Uhr, 16.11.2010

meinst du vllt dass ich vor

(3)

die Klammer falsch gesetzt habe also:

((10 - 0,5 r \cdot π) + 2 r) + \frac{1}{2} \cdot π \cdot

r²
und dann ausgeklammert:

20 r -

1r²

\cdot π + \frac{1}{2} π \cdot

r²
ist das so richtig?

nieaufgeber aktiv_icon

00:06 Uhr, 17.11.2010

$N B : 2 r + 2 h + π r {\Rightarrow r}_{\max} = 20 / (4 + π)$

anonymous

10:20 Uhr, 17.11.2010

hi
zur NB:
da in der skizze der der aufgabenstellung der bogen mit den seitenwänden dick braun gezeichnet ist, kann man davon ausgehen, dass dieser als "umfang" gemeint ist.
dann gilt die NB

2 h + π \cdot r = 20

und das ergebnis

r = \frac{20}{π}

sollte der boden mit zum umfang zählen, ist NB und resultat ein anderes.

(s

. unten)
am besten du legst beide lösungen vor.
die erste variante rechne ich dir vor, die zweite geht dann analog

⊙ k

nieaufgeber aktiv_icon

10:24 Uhr, 17.11.2010

mit

r = \frac{20}{π}

wird

h = 0,

deshalb würde ich vorschlagen den Boden auch mitberücksichtigen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

820835

818855

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?