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Extremalprobleme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: extremalproblem

Mario1993 aktiv_icon

09:51 Uhr, 10.04.2011

Hallo Leute,

habe 3 Aufgaben in Mathe als Hausaufgabe bekommen, komme aber nur bei einer einzigen auf die Haupt- und Nebenbedingung. Rechnen ist kein Problem, wenn ich diese beiden Gleichungen habe, aber komme einfach nicht drauf. Darum wäre es nett, wenn jemand mir diese mit Erklärung, wieso diese so gewählt wurden, mir antworten könnten.

1)

Aus 3 Blechblatten soll ein

2 m

lange Regenrinne geformt werden. (Dazu sieht man nun eine rechteckige, also nicht abgegrundet unten, Regenrinne. Die Länge der Außenseite ist 2 Meter

& b,

die untere Platte, liegt in einem rechten Winkel auf

h,

der Höhe)
Die Rinne soll eine Querschnittsfläche von

250

cm² besitzen.
Wie müssen Höhe

h

und Breite

b

gewählt werden, wenn der Materialverbrauch möglichst niedrig sein soll?

2)

Ein zylindrischer Behälter für

1000

cm³ Schmerfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² 4mal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

(r

ist der Radius,

h

die Höhe des Zylinders)

Komme leider gar nicht weiter

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Franz2604 aktiv_icon

10:28 Uhr, 10.04.2011

Hallo,
kann es sein, dass für die 1. Aufgabe folgende HB und NB gelten:
Hauptbedingung: Materialverbrauch (U)

= b + 2 h > min

.
Nebenbedingung: Flächeninhalt

A = 250

cm^2

= b \cdot h

Also:
I.

U = b + 2 h

II.

250 = b \cdot h

Irgendwie kommt es mir zu einfach vor, aber probiers mal mit den beiden Bedingungen zu rechnen. Viel Glück! (Ich würde darum bitten, dass mich jemand korrigiert, falls ich falsch liege, danke) :-)

Mario1993 aktiv_icon

10:33 Uhr, 10.04.2011

Das ist bisher die erst die zweite Stunde, in der wir mit solchen Problemen rechnen. Letzte Stunde wurden wir eingeführt von unserer Lehrerin, dann haben wir 2 Aufgaben gerechnet und diese sind nun Hausaufgabe. Wenn ich sie gerechnet habe, poste ich hier eine Antwort! Vielen Dank schon einmal :-) Verstehst Du auch die 2. Aufgabe?

Franz2604 aktiv_icon

10:38 Uhr, 10.04.2011

2.Aufgabe: Was hast du denn bis dahin?
Am Besten du suchst dir mal raus, was du schon kennst.

Mario1993 aktiv_icon

10:59 Uhr, 10.04.2011

In den Zyliner passen 1000cm³, also:

1000cm³ = Pi*r²*h

Franz2604 aktiv_icon

11:47 Uhr, 10.04.2011

genau das ist mal eine Nebenbedingung und was wäre die Hauptbedingung, wenn die Materialkosten minimal sein sollen?

Mario1993 aktiv_icon

11:50 Uhr, 10.04.2011

Deckel und Boden müssten kleiner sein von der Fläche her als Pappe?
Also
Mantel

>

Deckel

+

Boden

Franz2604 aktiv_icon

11:55 Uhr, 10.04.2011

sorry muss weg! hoff dir hilft jemand anderer weiter. Viel Glück und Erfolg noch!

Frosch1964 aktiv_icon

15:15 Uhr, 10.04.2011

ich würde es so versuchen:

Kosten = (Boden+Deckel)*4

+

Mantel

Boden und Deckel mal 4 deshalb, weil Metall 4 mal so teuer

Kosten

= 2 \cdot r^{2} \cdot π \cdot 4 + 2 r \cdot π \cdot h

Das ist deine Hauptbedingung, deine NB nach

h

umformen und einsetzen, Ableiten, nullsetzen usw.....

Mario1993 aktiv_icon

19:49 Uhr, 10.04.2011

Danke Leute :-)

Habe für die 1:

b = -

22.36cm

h = - 11.18

cm raus

und bei der 2 komme ich rechnerisch nicht mehr weiter; ich poste mal die Ableitungen:

f (x) =

8*PI*r^2

+ 2000 r^{- 1}

f' (x) =

16*PI*r

- 2000 \cdot r^{- 2}

f'' (x) =

16*PI

+ 4000 \cdot r^{- 3}

wenn ich noch

f' (x) = 0

setze:
16*PI*r

= 2000 \cdot r^{- 2}

Wenn man jetzt durch

r

teilt, fällt dieses ja komplett weg, habe keine Ahnung mehr, wie man weiter rechnen kann

. .

Franz2604 aktiv_icon

20:04 Uhr, 10.04.2011

Also bei 1 solltest du eigentlich

b = +

22,36cm und

h = +

11,18cm rausbekommen.
Und bei der 2. Aufgabe hätte ich eine Frage an dich, wie bist du auf die Funktion

f (x) = 8 π \cdot r^{2} + 2000 r^{- 1}

gekommen?

Mario1993 aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.04.2011

Bei der 1 kommen aber

2 h' s

raus; nach der 0 Setzung:

h^{- 2} = 0,008

h 1 = 11,18

h 2 = - 11,18

setzt man nun aber

h 1

in die 2. Ableitung ein

(500 h^{- 3})

kommt man auf eine positive Zahl, es ist aber das Minumum, also ein Tiefpunkt gesucht

. .

.

zur 2:

ich habe nach

h

aufgelöst

h =

(1000)/(PI*r^2) und dies nun in die Hauptbedingung eingesetzt

f (r) =

8r^2*PI

+

2*PI*r

\cdot

(1000)/(PI*r^2); ohne Brüche geschrieben sähe dies so aus:

f (r) =

8r^2*PI

+

(2*PI*r*1000*PI^-1*r^-2)

PI und PI^-1 lösen sich dabei auf, weil dies 1 ergibt und

2 \cdot 1000 = 2000

Somit bleibt hinten nurnoch:

2000 r^{- 1}

übrig

Franz2604 aktiv_icon

20:16 Uhr, 10.04.2011

"Bei der 1 kommen aber 2h′s raus; nach der 0 Setzung:

h_{1} = 11,18

h_{2}

=−11,18
setzt man nun aber

h 1

in die 2. Ableitung ein (500h−3) kommt man auf eine positive Zahl, es ist aber das Minumum, also ein Tiefpunkt gesucht ..."

Na ja aber wie viel sind -11,18cm???? Bei cm,

m,

km, usw. da zählen ja nur die positiven Zahlen.

"zur 2:
ich habe nach

h

aufgelöst

h = \frac{1000}{π \cdot r^{2}}

und dies nun in die Hauptbedingung eingesetzt"

>

das passt super :-)
dann hast du:

f (r) = 8 \cdot r^{2} π + 2 π r \cdot (\frac{1000}{π r^{2}})

Und das kannst du eigentlich ruhig mit dem Bruch weiterrechnen, denn

r^{- 1}

ist eigentlich

\sqrt{r}

Mario1993 aktiv_icon

20:18 Uhr, 10.04.2011

Bei mri löst sich dann aber immer noch das

r

auf bei der 0 Setzung

\frac{:}{}

Kannst Du mal bitte so weiterrechnen?

Franz2604 aktiv_icon

20:21 Uhr, 10.04.2011

Wie würdest die

f (r) = 8 \cdot r^{2} π + 2 π r \cdot (\frac{1000}{π r^{2}})

ableiten bzw. wie sieht deine

f' (r)

aus?

Mario1993 aktiv_icon

20:22 Uhr, 10.04.2011

Ich würde den Bruchstrich hochholen, anders kann ich es leider nicht :-D)

Franz2604 aktiv_icon

20:23 Uhr, 10.04.2011

aber bei der Aufgabe 1 hast du es doch auch geschafft, oder?

Mario1993 aktiv_icon

20:27 Uhr, 10.04.2011

Bei der Aufgabe 1 habe ich auch die Brüche als hoch

- 1

geschrieben und habe mich so durchgekämpft

Habe es jetzt zum

4 . -

mal probiert und mein

r

kürzt sich immer weg

- . -

Franz2604 aktiv_icon

20:29 Uhr, 10.04.2011

ach so sorry, ok du hattest recht

r^{- 1}

ist immer bruch, weiß nicht wieso ich dachte, das ist

\sqrt{r}

:-) ok ich probiers mal für dich mit

- 1

Mario1993 aktiv_icon

20:31 Uhr, 10.04.2011

Ok danke

...

. und wie schon gesagt bei mir küzt sich dann

r

weg, und es würde keien Lösung rauskommen

Franz2604 aktiv_icon

20:37 Uhr, 10.04.2011

Oder probieren wirs mal mit Bruch, damit du es auch lernst ;-)

f (r) = 8 r^{2} π + 2 π r \cdot (\frac{1000}{π \cdot r^{2}})

f (r) = 8 r^{2} π + \frac{2000}{r}

Den ersten Teil

8 r^{2} π

kannst du ableiten, oder?
Und bei Brüchen gilt immer:

f (x) = \frac{u}{v}

f' (x) = (u' v -

uv')

/ v^{2}

Das wäre bei unserem Bruch

\frac{2000}{r} > \frac{0 \cdot r - 2000 \cdot 1}{r^{2}}

verstehst dus?

Mario1993 aktiv_icon

20:39 Uhr, 10.04.2011

Sorry, ich muss weg für eine Stunde

. .

. kannst Du bitte die Rechnung fortführen? Wäre gut, wenn Du später noch mal on wärst, für Rückfragen. Ich beeile mich, bg

Franz2604 aktiv_icon

20:44 Uhr, 10.04.2011

ok kein problem, ich werd zwar nicht deine rechnung rechnen, aber ich schau einfach, ob ich später online bin und helf dir gern weiter ;-)

Mario1993 aktiv_icon

22:01 Uhr, 10.04.2011

Wieder zurück.
Und komme immer noch nicht weiter! Habe ja beim Gleichsetzen auch kein Fehler gemacht, aber eine Lösung muss ja auch rauskommen

Franz2604 aktiv_icon

22:14 Uhr, 10.04.2011

ok, die erste Ableitung unserer Funktion

f (r) = 8 r^{2} π + \frac{2000}{r}

f' (r) = 2 \cdot 8 r π + \frac{0 \cdot r - 2000 \cdot 1}{r^{2}}

Fasse nun die erste Ableitung zusammen und setze die dann 0. Wie gehst du vor?

Mario1993 aktiv_icon

22:21 Uhr, 10.04.2011

Ich komme auf

-32000*PI/r

= 0

Die Gleichung wird nur

0,

wenn

r = 0

wird

Also hacke auch da

...

. wäre cool, wenn Du die Aufgabe fertig rechnen könntest :-D) Habe es echt oft probiert und gehe auch gleich ins Bett

Franz2604 aktiv_icon

22:28 Uhr, 10.04.2011

ich versteh wirklich nicht wie du auf das kommst, ich würds eher verstehen, wenn du deinen rechenweg posten könntest.
aber da ich jetzt auch weg vom internet geh, zeig ichs dir mal
f′(r)

= 2 \cdot 8 r π + (0 \cdot r

−

2000 \cdot 1 \frac{)}{r^{2}}

f' (r) = 16 π r - \frac{2000}{r^{2}}

0 = 16 π r - \frac{2000}{r^{2}}

1. Schritt

\cdot r^{2}

2. Schritt

+ 2000

3. Schritt

: 16 π

4. Schritt

3_{\sqrt{}}

Jetzt müssts aber schon gehen, ansonsten gute Nacht!

Mario1993 aktiv_icon

22:33 Uhr, 10.04.2011

Ok vielen Dank!
Und wie sähe dann die 2. Ableitung aus? Bzw nach welchem Prinzip machst du das überhaupt? Kenne diese Regel gar nicht, darum wandel ich Brüche immer zu hoch Minuszahlen um

Franz2604 aktiv_icon

09:07 Uhr, 11.04.2011

Bitte gerne, oh habt ihr das noch gar nicht gelernt? Für Ableitungen von Brüchen gibt es die folgende Regel:

f (x) = \frac{u}{v}

f′(x)

= (u' v

− uv')

/ v^{2}

Das heißt, im Zähler wird der Zähler abgeleitet mal dem Nenner minus dem normalen Zähler mal dem Nenner abgeleitet DURCH den Nenner hoch 2.

f' (x) = 16 π r - \frac{2000}{r^{2}}

f'' (x) = 16 π - \frac{0 \cdot r^{2} - 2000 \cdot 2 \cdot r}{r^{4}}

Wenn wir uns nur den abgeleiteten Bruch ansehen:

\frac{0 \cdot r^{2} - 2000 \cdot 2 \cdot r}{r^{4}}

dann hab ich folgendes gemacht:

2000

abgeleitet ist 0 mal Nenner, deshalb

0 \cdot r^{2};

dann hab ich minus den Zähler mal den Nenner abgeleitet

r^{2} >

abgeleitet ist

2 r,

deshalb

- 2000 \cdot 2 r

Also heißt unser Zähler

0 \cdot r^{2} - 2000 \cdot 2 \cdot r

Und denn Nenner muss ich hoch 2 geben,

r^{2} > r^{4}

Also sieht der abgeleitete Bruch

\frac{0 \cdot r^{2} - 2000 \cdot 2 \cdot r}{r^{4}}

so aus
Verstanden oder eher verwirrt :-)

Mario1993 aktiv_icon

18:30 Uhr, 11.04.2011

Danke, hat sich alles geklärt ;-)

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