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Extremalprobleme

Schüler Gymnasium,

Tags: Auflösen, extremalproblem

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banänna

banänna aktiv_icon

12:15 Uhr, 17.02.2013

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Hallo.
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe aus dem Thema "Extremalprobleme".
Die Frage lautet: "Modellieren Sie ein Reagenzglas mithilfe einfacher Körper. Es soll ein Fassungsvermögen von 40cm^3 aufweisen. Bestimmen Sie, bei welchen Abmessungen sich ein minimaler Materialverbrauch ergibt."

Meine Berechnungen/Lösungen bisher:
Halbkugel:

V = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3} O = 2 \cdot π \cdot r^{2}

Zyliner:

V = π \cdot r^{2} \cdot h O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h

(nur Mantel)

gesammte Oberfläche:

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot h

(Extremalbedingung)
gesammtes Volumen:

V = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3} + π \cdot r^{2} \cdot h = 40

(Nebenbedingung)

Nun mein Problem: Um

r

zu berechnen muss ich die Nebenbedingung zunächst nach

r

oder

h

auflösen... was mir leider nicht gelingt.

Die mir vorgegebenen Lösungen sind:

O (r) = \frac{80}{r} + \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{2}

r = 3 \sqrt{\frac{60}{π}} = 2,673

(dritte Wurzel ist gemeint, ich weiß leider nicht wie man das eingeben muss)

h = 0,000685 (d . h

. Reagenzglas ist eine Halbkugel)

Ich hoffe mir kann jemand mit meinem Problem helfen und die Nebenbedingung für mich auflösen (wenn möglich Schrittweise, damit ich den Vorgang nachvollziehen kann.)
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Sams83

Sams83 aktiv_icon

12:48 Uhr, 17.02.2013

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Hallo,

am einfachsten ist das Auflösen nach

h :

\frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3} + π \cdot r^{2} \cdot h = 40

π \cdot r^{2} \cdot h = 40 - \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}

h = \frac{40}{π \cdot r^{2}} - \frac{2}{3} \cdot r

Soweit klar? Das dann in

O

einsetzen und zusammenfassen, dann kommst Du auf die Formel in der Lösung. Klappt das?

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

12:48 Uhr, 17.02.2013

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Stelle mal die Volumenformel nach

h

um und setze sie in die Oberflächenformel ein.

banänna

banänna aktiv_icon

13:06 Uhr, 17.02.2013

Antworten

Wie stell ich die Volumenvormel denn nach

h

um? Ist das nicht das gleiche wie nach

h

auflösen?

Vielen Dank für die Lösung! Allerdings komm ich immer noch nicht zu dem Ergebnis für

O (r) = \frac{80}{r} + \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{2}

ich komme bis zu dieser Stelle:

0 = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{40}{π \cdot r^{2}} - \frac{2}{3} \cdot r |

kürzen

0 = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot \frac{40}{r} - \frac{2}{3} \cdot r

0 = 2 \cdot π \cdot r^{2} + \frac{80}{r} - \frac{2}{3} \cdot r

wie muss ich weiter vorgehen?

Antwort

Sams83

Sams83 aktiv_icon

13:08 Uhr, 17.02.2013

Antworten

Ja, "umstellen" und "auflösen" ist dasselbe.

Du musst

h

"geklammert" einsetzen, also die

2 \cdot π \cdot r

beziehen sich auch auf den zweiten Teil von

h :

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot (\frac{40}{π \cdot r^{2}} - \frac{2}{3} \cdot r)

Nun ausmultiplizieren und zusammenfassen...

Antwort

Eva88

Eva88 aktiv_icon

13:10 Uhr, 17.02.2013

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40 = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3} + r^{2} \cdot π \cdot h

h = \frac{40 - \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}}{r^{2} \cdot π}

jetzt in

O

einsetzen

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{40 - \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}}{r^{2} \cdot π}

jetzt noch vereinfachen und ableiten. Dann 0 setzen und nach

r

auflösen.

banänna

banänna aktiv_icon

13:20 Uhr, 17.02.2013

Antworten

Danke für die vielen Antworten, doch leider komme ich noch immer nicht zu einem Ergebnis.

Entweder komme ich zu:

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + \frac{80}{r} - 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{2 \cdot r}{3}

oder zu:

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot 40 - \frac{2}{3} \cdot r

Antwort

Sams83

Sams83 aktiv_icon

13:25 Uhr, 17.02.2013

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Forme die erste Gleichung weiter um:

O = 2 \cdot π \cdot r^{2} + \frac{80}{r} - \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{2}

Und nun den ersten und dritten Term zusammenfassen:

O = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{2} + \frac{80}{r}

Frage beantwortet

banänna

banänna aktiv_icon

13:29 Uhr, 17.02.2013

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Vielen, vielen Dank! Da stand ich wohl grade etwas auf dem Schlauch.

Antwort

Sams83

Sams83 aktiv_icon

13:52 Uhr, 17.02.2013

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Bitte, gern geschehen :-)

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