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Extremalprobleme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben

Softkiss aktiv_icon

18:54 Uhr, 22.11.2009

a) Betrachtet wird das abgebildete achselnparallele Rechteck, dessen Eckpunkt P(z|f(z)) für 0<z<1 auf dem Graphen der Funktion f(x)=2x*e^-x liegt.
Wie muss z gewählt werden, damit der Flächeninhalt A des Rechtecks maximal wird?
Hier weiß ich nur, dass A=a*b ist und dass a=x sein muss, weiter komme ich nicht.

b) Die Graphen der Funktionen f(x)=2x*e^-x und g(x)=(-1-x)*e^-x schneiden sich aus der senkrechten geraden x=z mit z>0 eine Strecke heraus. Wie muss z gewählt werden, damit diese Strecke möglichst lang wird?

c) Wie muss die Stelle z>=1 gewählt werden, damit der y-Achsenabschnitt der Tangente t ab deb Graphen von f(x)=2x*e^-x im Punkt P(z|f(z)) möglichst groß wird?
Ist das nicht einfach die Tangente im Wendepunkt?

Zeichnung zu a:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Magnus667 aktiv_icon

12:33 Uhr, 23.11.2009

Hi,
zu

a)

Der Flächeninhalt berechnet sich ja nach

A = a \cdot b

dabei ist a hier

1 - z

und

b

ist

f (z)

Daraus kannst du die Funktion für den Flächeninhalt aufstellen:

A (z) = (1 - z) \cdot (2 z \cdot e^{- z})

Diese dann ableiten und gleich null setzen (Produktregel).
Dabei bekommst du zwei Lösungen (Maximum und Minimum), das Minimum fällt raus, das liegt ohnehin bei

z > 1

.
Damit bleibt für

z

nurnoch ein mögliches Ergebnis (zur Kontrolle:

1,5 - \sqrt{1,25} \approx 0,382)

b)

So wie ich das sehe geht es hier um den größtmöglichen Abstand zwischen

f (x)

und

g (x)

.
Für den Abstand kannst du eine seperate funktion aufstellen, die der Differenz von

f

und

g

entspricht:

h (x) = f (x) - g (x)

= 2 x \cdot e^{- x} - (- 1 - x) \cdot e^{- x}

das ganze vereinfachen und ableiten:

h (x) = e^{- x} (3 x + 1)

h' (x) = e^{- x} (2 - 3 x)

das gleich nullsetzen, also

2 = 3 x \Rightarrow x = \frac{2}{3}

Hoffe das stimmt soweit, zu

c

denke ich auch, dass die Tangente durch den Wendepunkt geht. Aber du kannst das ganze auch rechnerisch lösen, indem du den y-Achsenabschnitt der möglichen Tangenten in einer Funktion darstellst und diese dann wieder auf ein Maximum untersuchst.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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