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Extremalprobleme
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extremwertproblem
 
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Hallo Leute , neulich haben wir mit dem Thema "Extremalprobleme" angefangen. Ich konnte wegen einer Klausur jedoch nicht von anfang an dabei sein. Wäre nett wenn ihr mir bei der Lösung folgender Aufgaben helfen könnt. Die Zahl soll so in zwei positive Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrare der Summanden möglichst klein wird. Ein Goldgräber möchte mit einem langen Seil ein rechteckiges Claim ( Goldstück der Goldgräber) abstechen. Eine Seite wird von einem Fluss begrenz. Wie groß ist der . Flächeninhalt des Claims. Danke für eure Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo matheediz, zu Lege zwei Variablen für die Summanden fest, zum Beispiel und . Für sie gilt dann: Deine Zielfunktion lautet x²+y² Um die Gleichung aufstellen zu können, darf sie allerdings nur eine Variable enthalten, dh. oder müssen mit der jeweils anderen beschrieben werden. Entscheiden wir uns für dann müssen wir mit beschreiben. Dazu gilt die Nebenbedingung: Die Gleichung lautet dann: f(x)=x²+(100-x)² (hier steck ein Binom drin, wie Du sicher schon bemerkt hast) auflösen: f(x)=x²+10000-200x+x² = f(x)=2x²-200x+10000 Um Extremwerte zu bestimmen, benötigst Du die 1. Ableitung: jetzt noch die Nullstellen bestimmen ( Gleichungen 2. Grades können nur eine Extremstelle besitzen) Um sicherzugehen, dass es sich um eine Extremstelle handelt, musst Du außerdem die 2. Ableitung bilden, sie muss ungleich 0 sein. Es handelt sich also tatsächlich um eine Extremstelle. Da es keine weiteren Extremstellen gibt, muss richtig sein. Das kannst Du auch mit dem Taschenrechner überprüfen: 50²+50²=5000; 49²+51²=5002 zu Etwas abgekürzt Deine Zielfunktion lautet: Das Seil ist lang, wichtig dabei ist, dass eine Seite vom Fluss begrenzt wird und nicht in die Nebenbedingung eingeht (Ich frage mich, ob Mathematiker ab und zu in Freie gehen? Ich habe noch keinen geraden Fluss gesehen). . Zeichnung) Ich habe mich für a entschieden, damit ist dann f(x)=-2a²+60a Ableitung: Nullstelle dh. Der Claim hat also bei und die größte Fläche A=450m² (ruhig mal mit dem Rechner überprüfen). Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen. Gruß,Cirden  |
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Danke dir für deine Hilfe ;-) sehr nett von dir |
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