Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extremalprobleme (Strahlensatz)

Extremalprobleme (Strahlensatz)

Schüler Gymnasium,

Tags: extremalproblem

Orangina aktiv_icon

17:31 Uhr, 12.01.2011

Hallo, ich habe nun schon etwas länger das Thema Extremalprobleme, aber bisher kaum etwas verstanden. Ich finde einfach keine Ansätze für die Aufgaben. Deshalb hoffe ich, dass mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann und mir erklären kann, wie ich die Ansätze finde. Danke schonmal!

Aufgabe:
Ein Stück Spiegelglas hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten

50

cm bzw.

80

cm lang sind. Durch zwei Schnitte mit einem Glasschneider soll ein rechteckiger Spiegel entstehen.
Wie lang sind die Schnittkanten

x

und

y

zu wählen, damit die Spiegelfläche maximal wird?
Hinweis: Die Beziehungen zwischen

x

und

y

(Nebenbedingung) erhält man mithilfe des Strahlensatzes.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

11:58 Uhr, 13.01.2011

...ist doch eigentlich gaaanz einfach.

Erstmal hilft dir 'ne Skizze. Es bietet sich an, das rechtw. Dreiecksstück in den 1. Quadranten des Koordinatensystems zu legen.

Eine Kathete (mit Länge

50)

legen wir nun auf die X-Achse und die 2. Kathete (mit Länge

80)

legen wir auf die y-Achse.

So, nun müssen wir uns irgendwo auf der X_Achse einen Punkt zw. 0 und

50

aussuchen (ich nenn' ihn

x_{0})

und von dort aus senkrecht (prallel zur Y_Achse) nach oben schneiden. Und zwar so lange, bis wir auf die Kante (Hypothenuse) kommen. Von dort aus gehts dann nach links (parallel zur X_Achse) bis zur Y-Achse in Punkt

y_{0} .

Der Spiegel hat dann die Breite

x_{0}

und die Höhe

y_{0}

und somit eine Fläche von:

A = x_{0} \cdot y_{0}

Nun ergibt sich ja

y_{0}

aus

x_{0}

durch die Schräge.

Aus dem Strahlensatz ergibt sich:

\frac{80}{50} = \frac{y_{0}}{50 - x_{0}}

(es gibt noch mehr Verhältnisse die man nutzen kann aber es wird immer dasselbe Ergebnis rauskommen)

und damit:

y_{0} = \frac{80}{50} \cdot (50 - x_{0}) = \frac{8}{5} \cdot (50 - x_{0})

Dieses sich aus

x_{0}

ergebende Maß für

y_{0}

können wir nun in die Flächenformel einsetzen:

A = x_{0} \cdot y_{0}

A = x_{0} \cdot \frac{8}{5} \cdot (50 - x_{0})

A = x_{0} \cdot \frac{8}{5} \cdot 50 - x_{0} \cdot \frac{8}{5} \cdot x_{0}

A = 80 \cdot x_{0} - \frac{8}{5} \cdot x_{0}^{2}

...so, nun kannst du Extremstelle berechnen, sprich das

x_{0}

für das die Fläche maximal wird.

(Dies kannst du übrigens über 2. Ableitung oder durch Logik nachweisen!)

;-)

Wurzel-Furzel aktiv_icon

12:21 Uhr, 13.01.2011

Welche Art der Logik meinst du denn?
Die logica vetus, die logica nova oder die parva logicalia. ;-)

Edddi aktiv_icon

12:47 Uhr, 13.01.2011

. .

. es ist ja wohl klar, dass man dehergehen kann, eine beliebige Breite wählt und so ein Rechteck mit einer bestimmten Fläche erhält.

geht man nun nach links

(x = 0)

dann ist auch die Fläche

0 .

Geht man nach rechts

(x = 50)

dann ist die Fläche auch Null.

Da sich die Fläche nach einem quadratischen Verhältnis berechnet, kann es auch nur eine Extremstelle geben, die dann auch zwischen

f (0) = 0

und

f (50) = 0

liegt.

Da für einen Wert zwischen 0 und

50

ein positiver endl. Wert rauskommt muss die Extremstelle also ein Maximum sein.

;-)

841160

840869

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?