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Extremalstellen
Schüler
Tags: Extrema, Maximal, minimal
 
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anonymous 22:29 Uhr, 02.12.2010  |
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben. Nun soll ich die Extremstellen berechnen. Ich habe nun folgende Nullstellen berechnet, ist der Funktionswert=-(37525)/(192) ist der Funktionswert=-850/3 ist der Funktionswert=10 Ich würde nun sagen, dass das maximale extrema bei liegt. Nun zur Frage, woher weis ich denn nun ob es ein lokales oder glaobales extrema ist? ich würde jetzt einfach durch einsetzen und schauen welches der höchste funktionswert ist als maximum setzen und den kleinsten funktionswert als minimum. ist das so richtig oder woher weis ich nun ob es global oder lokal ist? verwirrt Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo! Zunächst solltest Du mit Hilfe der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich bei den einzelnen Punkten mit waagerechter Tangente (nichts anderes gibt Dir tatsächlich um Minima oder Maxima handelt. Ob global oder lokal wird am deutlichsten, wenn Du Dir das Verhalten der Funktion für gegen anschaust und sie vielleicht etwas skizzierst. Deine Funktion geht in beiden Fällen gegen . Also kann es sich bei nur um ein lokales (relatives) Maximum handeln, da die Funktion "weiter entfernt" ja viel größere Werte annimmt. Anders sieht es bei den Minima aus: da die Funktion wie ein großes aussieht, ist der kleinstmögliche Funktionswert bei . Also haben wir dort ein globales Minimum, das andere Minimum bei ist ein lokales. |
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anonymous 12:45 Uhr, 03.12.2010 |
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Wie kann ich denn anhand der zweiten ableitung sehen, ob die funktion tatsächlich minima oder maxima ist? aha, also wenn ich die komplette funktion betrachte, gibt es per se keinen globalen sondern nur ein lokales maxima da die funktion gegen unendlich strebt? |
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1. Für Extrema ist nur die notwendige Bedingung (es muss eine waagerechte Tangente vorliegen). Die hinreichende Bedingung ist, dass die Steigung der Tangente an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel durchläuft, sich bildlich gesprochen also eine Kuppe bzw. eine Senke an dieser Stelle befindet. Dies prüft man durch Einsetzen der Werte in . Es gilt:
Hochpunkt (rel. Maximum) Tiefpunkt (rel. Minimum) Wenn aber an der Stelle ist, sind weitere Untersuchungen notwendig. In aller Regel handelt es sich dann um einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente). 2. Wenn die Funktion irgendwo gegen unendlich strebt, kann das lokale Maximum ja kein absolutes (also globales) sein, da genügend Funktionswerte existieren, die größer sind. Es ist dann nur ein lokales Maximum, das in seiner unmittelbaren Umgebung einen Spitzenwert darstellt. |
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anonymous 13:11 Uhr, 03.12.2010 |
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also Also muss ich die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen und dann schauen ob die zweite Ableitung bzw ist und dann darauf schließen, wass das Maxima bzw. Minima ist? Deine Erklärung verstehe ich auch nich so richtig, mit der Kuppe und der Senke. Gruß |
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...mit Kuppe meint er ein lokales Maximum. Heißt, der Funktionswert steigt an und fällt dann wieder (wie ein Berg - eben Kuppe).
An der höchsten Stelle ist dein lokales Maximum (lokal deshalb, weil ich einen endlichen Bereich angeben kann, in dem dieser Punkt der höchste ist, denn insgesamt kann ja deine Funktion bei riesigen x-Werten auch riesige Y-Werte annehmen. Deshalb der Hinweis, das erhalten im Unendlichen zu untersuchen). An dieser Stelle ist die Tangente genau waagerecht Ähnlich verhält es sich mit den lokalen Minima (wie ein Loch - eben Senke). Auch hier ist die Tangente genau waagerecht Bei beiden lokalen Extrema wird aber die Krümmungsrichtung nicht geändert!!!! Stell' dir vor, du fährst auf deiner Kurve mit einem Auto das lokale Maxima ab (Du musst also immer nach rechts lenken)...bei dem Minima musst dann eben immer links rum fahren. Nun heißt aber nur, dass die Tangente waagerecht steht, hier könnte aber der verlauf der Kurve ja auch so sein: Der Funktionswert steigt immer weniger an bis er waagerecht ist und steigt dann aber gleich wieder. An diesem Sattelpunkt liegt die Tangente ja auch genau waagerecht, es liegt aber keine Extremstelle vor, da es ja auch keinen regional höchsten Wert gibt. Deswegen ist ein notwendiges Kriterium (da es einfach notwendig für eine Extremstelle ist), jedoch kein hinreichendes Kriterium (es reicht allein nicht aus um eine Extremstelle zu beschreiben). Beim Sattelpunkt, so du diesen mal mit dem virtuellen Auto abfährst, musst du aber erst rechts lenken, dann immer weiter das Lenkrad in Geradeaus-Stellung drehen und wenn du gerade geradeaus fahren willst (am Sattelpunkt) musst du schon wieder nach links lenken (da du ja sonst wieder nach unten fährst und somit über einen Hügel / Kuppe gefahren bist). Ergo: bei lok. Extrema hast du eine Krümmung vorliegen. Die 2. Ableitung gibt dir die Krümmung an (je negativer desto schärfer die Rechtskruve - konkave Krümmung) und je positiver, desto schärfer die Linkskurve - konvexe Krümmung. Da du aber am Sattelpunkt dein Lenkrad genau auf geradeaus hälst, liegt dort natürlich keine Krümmung vor. Heißt - Krümmung Und wen die Krümmung bzw. dann hast du eben kein lokales Extrema, sondern eine Wendestelle (da du ja mit deinem Auto die Richtung gewendet hast. ...so, ich hoffe das tut es Not... ;-) |
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anonymous 19:18 Uhr, 03.12.2010 |
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Tolle Erklärung Eddi, danke eine Frage habe ich aber noch, die notwendige Bedingung dass eine Ableitungsfunktion sein muss, habe ich verstanden. Aber dass mit der zweiten Ableitung nicht so richtig... Vielleicht kann es mir ja jemand Anhand der Ableitung erklären? |
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anonymous 18:34 Uhr, 04.12.2010 |
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So, jetzt habe ich es verstanden. Danke für eure Hilfe. Abakus |
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