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Extremstelle im mehrdimensionalen berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: extremstelle, Funktion, Mehrdimensional

flowerpower1234 aktiv_icon

17:54 Uhr, 03.07.2016

Hallo, ich hab bei folgender Aufgabe Probleme. Die Aufgabe hab ich als Bild angehängt

Ich hab folgendermaßen angefangen:

f (x, y) = y^{2} - 2 x^{4} y - x^{4} y + 2 x^{8}

f (x, y) = y^{2} - 3 x^{4} y + 2 x^{8}

{f'}_{x} (x, y) = - 12 x^{3} y + 16 x^{7}

{f'}_{y} (x, y) = 2 y - 3 x^{4}

f''_{x x} (x, y) = - 36 x^{2} y + 112 x^{6}

f''_{y y} (x, y) = 2

f''_{x y} (x, y) = - 12 x^{3} = f''_{y x} (x, y)

Die ersten beiden partiellen Ableitungen hab ich dann 0 gesetzt und folgendes LGS

0 = 12 x^{3} y + 16 x^{7}

0 = 2 y - 3 x^{4}

Aus der 2. Zeile erhält man dann

y = \frac{3}{2} x^{4}

Wenn man das Ergebnis dann in die erste Zeile einsetzt erhält man

x = 0

und daraus folgt dann

y = 0

Jetzt hab ich die Hesse-Matix aufgestllt

H_{f =} (\begin{matrix} - 36 x^{2} + 112 x^{6} & - 12 x^{3} \\ - 12 x^{3} & 2 \end{matrix})

H_{f} (0,0) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

Die Definitheit wollte ich dann mithilfe der Eigenwerte berechnen

H_{f} (0,0) = (\begin{matrix} 0 - λ & 0 \\ 0 & 2 - λ \end{matrix})

det = - 2 λ + λ^{2}

Mit der pq-Formel erhalte ich dann als Lösung 0 und 2. Damit wäre die Hessematrix ja positiv semidefinit, was eigentlich die Voraussetzung für eine lokale Minimalstelle ist.

Hab ich mich jetzt irgendwo verrechnet, oder gibt es einen besseren Ansatz der zum Ziel führt? Für den zweiten Teil der Aufgabe habe ich leider noch keinen Ansatz.

Für Ansätze bin ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

19:22 Uhr, 03.07.2016

Hallo
da die Matrix semidefinit ist. kann man nichts über

(0,0)

sagen, sondern muss anders vorgehen .

z . B

wie vorgeschlagen

y = a \cdot x

einsetzen, auf der Geraden hat

f

ein Min. aber

z, B

wenn man auf der Kurve

y = x^{4}

oder

x = 2 x^{4}

nach 0 läuft ist die fkt immer

0,

das kann man direkt sehen, auf anderen Kurven durch 0 wie

y = x^{2}

wird auch kein

min

angenommen.
Gruß ledum

flowerpower1234 aktiv_icon

19:58 Uhr, 03.07.2016

Ich hab y=mx mal in die Funktion eingesetzt und folgendes erhalten.

f (x,

) = (m x - x^{4}) (m x - 2 x^{4})

= m^{2} x^{2} - 3 m x^{5} + 2 x^{8} := g (x)

g' (x) = 2 m x - 15 x^{4} + 16 x^{7}

g'' (x) = 2 m - 60 m x^{3} + 112 x^{6}

g' (0) = 0

g'' (0) = 2 m

Oder wo wolltest du

y = a x

einsetzen?

Roman-22

20:32 Uhr, 03.07.2016

Fehler bei

g' (x);

bei

m

fehlt das Quadrat, also

g' (x) = 2 m^{2} x - . .

.

Daher ist

g'' (x) = 2 m^{2} > 0

für

m \neq 0 \Rightarrow

Minimum.

R

flowerpower1234 aktiv_icon

14:09 Uhr, 05.07.2016

ok danke damit hätte ich den 2. Teil der Frage ja geklärt aber für den ersten Teil reicht das doch nicht aus. Wie soll man da denn vorgehen?

Danke für die Hilfe :-D)

ledum aktiv_icon

15:50 Uhr, 05.07.2016

Eigentlich hatte ich dir gesagt, warum da kein lokales Min besteht, weil in der Naxhbarschaft von

(0,0)

weitere Werte

= 0

liegen.

z . b

auf den von mir genannten Kurven-
gruß leedum

flowerpower1234 aktiv_icon

16:18 Uhr, 05.07.2016

ok danke ich hab deinen ersten Beitrag anfangs nicht ganz verstanden. Jetzt ist es aber klar.

Vielen Dank

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