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Extremstellen einer Funktion mit Wurzel identisch
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Funktion, Wurzel
 
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Hallo zusammen, Ich habe eine kurze (oder je nachdem lange) Frage zu Funktionen, die eine Wurzel beinhalten. Warum ist es bei folgender Funktion, und auch allen anderen Funktionen bei denen ich dies ausgetestet habe, der x-Wert der Extremstellen identisch mit denen der gleichen Funktion aber ohne die Wurzel? und Haben für ihre Extremstellen den gleichen x-Wert, also könnte man um die Position der Extrema von herauszufinden auch die einfachere Funktion verwenden. Warum? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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also könnte man um die Position der Extrema von herauszufinden auch die einfachere Funktion So ist es ja! Allerdings kann es sein, dass der Radikand in Extremstellen hat, die Wurzel aber nicht. ZB Diese Funktion hat keine Extremstellen und ist über nicht definiert. Der Radikand hat aber an der Stelle 0 ein Extremum. |
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Okay und welchen Grund hat das ganze? Also wie kommt es mathematisch gesehen dazu, dass sich die x-Koordinate durch das entfernen der Wurzel nicht ändert? |
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Das Weglassen der Wurzel, also nur das Betrachten des Radikanden, bedeutet doch . ein Quadrieren. Nehmen wir nun am. dass wir nur mit nichtnegativen zu tun haben (so ist eine Wurzel in ja definiert), dann ist doch einsichtig, dass wenn ein Wert in seiner Umgebung der größte (oder kleinste) ist, dass sein Quadrat auch der größte (oder kleinste) Wert in der Umgebung aller quadrierter Werte ist. In der Folge ist der vierte Wert der größte. Wenn wir nun alle Werte quadrieren (oder auch davon die Wurzel ziehen), wird in der entstehenden Folge immer noch der vierte Wert der größte sein . Formal folgt das aus der sog. Monotonie der Quadratfunktion (bzw. auch der Wurzelfunktion) - beide sind streng monoton steigend in Für gilt (und auch . |
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Habs jetzt verstanden, danke |
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