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Extremstellen einer Funktion mit zwei Variablen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Stewe21725 aktiv_icon

19:18 Uhr, 25.06.2013

Hallo,
bisher lief das immer super bei mir dem Finden der Extremstellen, aber folgende Aufgabe bekomme ich nicht hin:

f (x, y) = (2 x^{2} + 4 x - 6) \cdot (y^{2} - 6 y + 5)

Ich habe zunächst die Klammern so gelassen wie sie sind, und dann die Partiellen Ableitungen gebildet:

\frac{\partial f}{\partial x} = (4 x + 4) (y^{2} - 6 y + 5)

\frac{\partial f}{\partial y} = (2 y - 6) (2 x^{2} + 4 x - 6)

Da diese Ausdrücke ja beide

= 0

werden müssen, habe ich mir dann gedacht, dass ich die Klammern jeweils

= 0

setzte, also bei

\frac{\partial f}{\partial x} :

(4 x + 4) = 0

(y^{2} - 6 y + 5) = 0

Ich erhalte dann:

1.

x = 1

y = 1

und

y = 5

Bei

\frac{\partial f}{\partial y}

sind es dann:

1.

x = 1

und

x = - 3

y = 3

Das schöne ist ja, dass sind alles Zahlen die irgendwie in der Lösung vorkommen, aber was mache ich jetzt damit? Ich habe ja so irgendwie nur einzelne Werte...

Lösungen:
Max.stelle bei

(- 1; 3);

Sattelstellen bei

(1; 5), (1; 1), (- 3; 5)

und

(- 3; 1)

.

Schöne Grüße
Stefan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

19:22 Uhr, 25.06.2013

Die Ableitung nach y ist Null zu setzen und nicht die Konstante in der Ableitung nach x

Stewe21725 aktiv_icon

19:41 Uhr, 25.06.2013

Sorry, ich hab mir das jetzt nen paar mal durchegelesen , aber irgendwie versteh ich deine Antwort nicht^^

Die Ableitung nach

y

habe ich doch zu Null gesetzt, oder was meinst du damit?

Meinst du

z . B

0 = (2 y - 6)

ist die "Ableitung nach y"?
Und

0 = (2 x^{2} + 4 x - 6)

ist dann die Konstante, die einfach wegfällt?

Somit erhalte ich aber doch nur einen Punkt, oder?
Für

0 = (2 y - 6)

erhalte ich

y = 3

Bei der Ableitung

\frac{\partial f}{\partial x}

nehme ich dann auch nur

(4 x + 4) = 0,

und erhalte

x = - 1

Der Punkt wäre dann ja

(- 1; 3),

aber was ist mit dem Rest?

pleindespoir aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.06.2013

Vorzeichenfehler !

Und mit den ersten Ableitungen bekommst Du sog. "kritische Punkte"

Hier nur einen bei dem Beispiel.

mit den zweiten Ableitungen (aber da richtig aufpassen!) kannst Du weitere Eigenschaften bestimmen - so wie in der "üblichen" Kurvendiskussion in der Mittelstufe auch.

Bei mehrdimensionalen nennt man das dann Hesse - Matrix, nicht benannt nach einem gleichnamigen Schriftsteller ...

Stewe21725 aktiv_icon

20:15 Uhr, 25.06.2013

okay, den Fehler hatte ich auch nach einer Minute gefunden gehabt, da warste dann aber schnell ;-)

Die Hesse Matrix kenne ich, mit ihr kann man sozusagen bestimmen, ob es sich um einen Extrempunkt, oder um einen Sattelpunkt handelt.

Aber wie finde ich denn in diesem Speziellen Fall die Sattelpunkte?
Bisher habe ich ja nur den einen Extrempunkt, da müssen ja noch irgendwie vier weitere Punkte zu finden sein, oder?

pleindespoir aktiv_icon

20:33 Uhr, 25.06.2013

welche Bedingung weist denn auf einen Sattelpunkt hin ?

Stewe21725 aktiv_icon

20:40 Uhr, 25.06.2013

1. Bedingung

\frac{\partial f}{\partial x} = 0

und

\frac{\partial f}{\partial y} = 0

2. Bedingung (Hesse Matrix)

(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}) \cdot (\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}) - {(\frac{\partial^{2} f}{(\partial x) (\partial y)})}^{2} < 0

Dann hat man nen Sattelpunkt soweit ich weiß ;-)

Yokozuna aktiv_icon

21:10 Uhr, 25.06.2013

Hallo,

machen wir das Ganze noch einmal ganz langsam. Du hast die beiden partiellen Ableitungen:

f_{x} = (4 \cdot x + 4) \cdot (y^{2} - 6 \cdot y + 5)

f_{y} = (2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 6) \cdot (2 \cdot y - 6)

Für eine mögliche Extremstelle müssen beide Ableitungen gleich Null sein:

(4 \cdot x + 4) \cdot (y^{2} - 6 \cdot y + 5) = 0

(2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 6) \cdot (2 \cdot y - 6) = 0

Betrachten wir zuerst die erste Gleichung

(4 \cdot x + 4) \cdot (y^{2} - 6 \cdot y + 5) = 0

. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich Null ist.
Also nehmen wir mal an, daß

4 \cdot x + 4 = 0

ist,

d . h

x = - 1

. Damit ist die erste Gleichung erfüllt. Der Wert von

y^{2} - 6 \cdot y + 5

kann beliebig sein (er darf natürlich auch Null sein). Wir können aber nun nicht mehr zwingend

y^{2} - 6 \cdot y + 5 = 0

schließen.
Um das zu

x = - 1

zugehörige

y

zu berechnen, müssen wir deshalb die 2. Gleichung betrachten. Der Faktor

2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 6

nimmt für

x = - 1

den Wert

- 8

an. Damit die 2. Gleichung gleich Null ist, muß deshalb der Faktor

2 \cdot y - 6 = 0

sein, woraus

y = 3

folgt. Diesen Punkt hast Du ja selbst schon gefunden.

Jetzt betrachten wir noch den 2. Fall für die erste Gleichung. Wir nehmen nun

y^{2} - 6 \cdot y + 5 = 0

an, was

y = 1

oder

y = 5

ergibt. Der Faktor

4 \cdot x + 4

kann in der ersten Gleichung nun wieder einen beliebigen Wert haben. Also wenden wir uns wieder der zweiten Gleichung zu. Sowohl für

y = 1

als auch für

y = 5

ist der Faktor

2 \cdot y - 6

in der zweiten Gleichung ungleich Null. Deshalb muß zwingend der Faktor

2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 6 = 0

sein. Dies liefert

x = 1

und

x = - 3

. Die vier Kombinationsmöglichkeiten sind dann

(1 | 1), (1 | 5), (- 3 | 1), (- 3 | 5)

.
Der erste Punkt

(1 | - 3)

ist ein Maximum und die anderen vier Punkte sind Sattelpunkte, wie Du selbst bereit aus der Musterlösung weist.

Viele Grüße
Yokozuna

Stewe21725 aktiv_icon

21:23 Uhr, 25.06.2013

Super Antwort Yokozuna! Konnte ich sehr gut nachvollziehen die einzelnen Schritte!
Ich danke euch beiden für die Hilfe, schönen Abend noch ;-)

Stewe21725 aktiv_icon

21:23 Uhr, 25.06.2013

Super Antwort Yokozuna! Konnte ich sehr gut nachvollziehen die einzelnen Schritte!
Ich danke euch beiden für die Hilfe, schönen Abend noch ;-)

Stewe21725 aktiv_icon

21:23 Uhr, 25.06.2013

Super Antwort Yokozuna! Konnte ich sehr gut nachvollziehen die einzelnen Schritte!
Ich danke euch beiden für die Hilfe, schönen Abend noch ;-)

Stewe21725 aktiv_icon

21:26 Uhr, 25.06.2013

Sorry, irgendwie konnte meine Nachricht (angeblich) nicht gesendet werden ;-)

Yokozuna aktiv_icon

21:34 Uhr, 25.06.2013

Noch ein Nachtrag:
Es war eine sehr kluge Entscheidung von Dir, die beiden Klammern in der Funktion vor der Ableitung nicht auszumultiplizieren. Dadurch wird die Auflösung des Gleichungssystem wesentlich einfacher.
Viele machen den Fehler des Ausmultiplizierens und dann wird die Auflösung der zwei Gleichungen, in denen gemischte Potenzen von

x

und

y

vorkommen ziemlich schwierig.
Also nicht gleich immer alles ausmultiplizieren.

Viele Grüße
Yokozuna

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