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Extremwertaufgab mit 3 Variablen + Nebenbedingung

Universität / Fachhochschule

Tags: Extremwertaufgabe

Tm201 aktiv_icon

13:17 Uhr, 05.06.2009

Hi,

ich hatte mal eine Aufgabe in meiner Mathe 2 Klausur die mich seither nicht mehr richtig in Ruhe lässt.

Es sollten die Kantenlängen eines Schwinnbeckens mit dem Voulumen

V = 108

m³ errechnet werden. Bedningung war dabei das die Fläche (Seiten und Boden) so klein wie möglich sind.

Da ist meinermeinung nach eine Extremwertaufgabe mit 3 Variablen

+

Nebenbedningung.

Ich habe mich an der Aufgabe versucht komme aber einfach nicht von den 3 Variablen weg.
Ich habe irgenwann ergebnisse raus wie

V = V

. Stimmen tut das ja, ist nur nicht das was ich will.

Könnt ihr mir helfen wie ich an die Sache rangehen kann.

V = a \cdot b \cdot c

Ao=2(ab+ac+bc)

jetzt würde ich versuchen eine Variable zu eliminieren. oder?

Ich bitte um eure Mithilfe
Mfg

Toni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Leuchtturm aktiv_icon

13:23 Uhr, 05.06.2009

Erste Kritik:

Du nimmst die Oberfläche eines Quaders. So ein Schwimmbecken ist aber oben offen!

Edddi aktiv_icon

13:39 Uhr, 05.06.2009

...was willst du denn nun berechnen?

Die minmale Kantenlänge oder die minimalste Fläche (Dann kühlt das Wasser nicht so schnell ab)?

;-)

Tm201 aktiv_icon

13:43 Uhr, 05.06.2009

O . K

.

Dann ist Ao= bc+(2(ab+ac))

a =

tiefe des Beckens

b =

länge des Beckens

c =

breite des Beckens

nun wie nun weiter?

Leuchtturm aktiv_icon

13:43 Uhr, 05.06.2009

@Edddi
Dett Ding scheint mir bei dem Volumen so ein UniProf Privatschwimmbad zu sein. Nen vernünftiges Becken für Schwimmer lässt sich damit ja kaum basteln. Der Aufgabensteller wollte sich so ein Teil bestimmt grad in seinen Keller einbauen lassen und sich den Materialverbrauch (Wände aus Gold) von seinen Studenten minimieren lassen.

Tm201 aktiv_icon

13:45 Uhr, 05.06.2009

Es ist die minmale Oberfläche (Boden und Seitenwände) gewünscht.
Mit dieser Bedingung sind die kantenlängen zu bestimmen.

Edddi aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.06.2009

...okey, ich hab' nicht richtig gelesen!

Gesucht ist also die Kantenlänge, bei der die Fläche minimal wird.

Das Volumen ist gegeben.

Jetzt ist die Oberfläche aber von 2 Parametern abhängig, nämlich der Länge und der Breite.

Die Höhe ergibt sich dann ja jeweils durch die Nebenbedingung:

h = \frac{V}{A} = \frac{V}{l \cdot b}

Es handelt sich hier also um eine Extremwertaufgabe, bei der nicht nur ein lokales Extrema einer Kurve, sondern ein lokales Extrema einer Fläche gesucht wird.

Um es nicht unnötig zu verkomplizieren, kannst du eine Variable als Konstante behandeln. (Nehmen wir mal an,

b =

konst.)

Nun ist:

A = 2 \cdot (b + l) \cdot h + b \cdot l

NB:

V = (b \cdot l) \cdot h

somit

h = \frac{V}{b \cdot l}

A = 2 \cdot (b + l) \cdot \frac{V}{b \cdot l} + b \cdot l

A = 2 \cdot V \cdot \frac{1}{l} + b \cdot l + 2 \cdot \frac{V}{b}

Minimum bei

A' (l) = 0

A' (l) = - 2 \cdot V \cdot \frac{1}{l^{2}} + b = 0

l = \pm \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}

praktisch benötigen wir nur

l = \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}

Für diese Länge in Abhängigkeit der Konstanten "b" ist die Fläche minimal!

A = 2 \cdot (b + l) \cdot h + b \cdot l

A = 2 \cdot (b + \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}) \cdot h + b \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}

...so, jetzt hast du nur noch eine Variable

. .

. nämlich

b

...jetzt bisdt du dran, das Minimum zu suchen...sollte ja nun nicht mehr so schwer sein.

;-)

Edddi aktiv_icon

14:06 Uhr, 05.06.2009

@ Leuchtturm

...wie lustelich...kann man sich aber gut vorstellen...

und damit der "UniProf" mit seinen "Bunnys" nicht zu schnell auskühlt, brauch er eben minimale Wandfläche, so bleibt das Becken länger warm, und der Champus, in unmittelbarer Nähe des Pools in einer Kühlnische mit Eis lagernd, gut verstaut länger kühl...

;-)

Tm201 aktiv_icon

23:01 Uhr, 05.06.2009

Hi, vielen Dank erstaml für eure Hilfe.

Ich habe die letzte gleichnung nun nach b abgeleitet. Leuchtet mir aber nicht ein wieso? Am anfang hatten wir doch definiert das b konstannt sein soll. ???

Wenn ich weitermach und dann die Gleichung = 0 setzt soerhalte ich:
Wurzel(b) *2*h=h*Wurzel(2V/b^3) + 1/2 *Wurzel(2V/b^3)

das dann nach b aufgelöst:
b=3.Wurzel(1/2 V + 1/4 *V/h + 1/8 *V/h^2)

Ich glaube ich versteh das ganze noch nicht richtig...
?

Tm201 aktiv_icon

16:43 Uhr, 06.06.2009

Hat keine mehr die Idee dazu???

Könnte vieleicht doch mal jemand den kompletten Lösungsweg angeben, vieleicht kommt mir da die erleuchtung.

Mfg
Tm201

Edddi aktiv_icon

07:34 Uhr, 08.06.2009

...jau,

b

wird erstmal ein ein "BELIEBIEGE" Konstante angesehen.

Jetzt suchst du ein Maxima für die freie Variable

l

...und diese ist dann von einigen Konstanten abhängig (bei uns von

V

und

b) .

Statt nun den konkreten Wert für

l (V, b)

anzugeben, und damit dann die minimale Fläche

A (V, b)

zu berechnen, setzen wir nur

l (V, b)

ein.

Nun ist die Fläche nur noch von einer "Konstanten" abhängig, da sich ja V=Volumen nicht ändern kann, wohl aber

b .

Also suchen wir die Extremstelle für

b,

bei der A (Abhängig von

V

und

b),

bei der die Fläche minimal wird.

...grafisch kannst du es dir als Funktion

A = f (l)

vorstellen...sagen wir mal mit dem Aussehen einer Parabel mit einem Minimum.
...jetzt nehmen wir noch eine 3. Koordinate (Dimension) dazu, nämlich die Breite

b .

Für jedes

b

ist das Minimum der Parabel verschoben.
Dies ergibt eine gekrümmte Fläche in

V (b, l)

mit einem Minimum

V .

A (b) = 2 \cdot (b + \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}) \cdot h + b \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}

wegen

h = \frac{V}{l \cdot b}

A (b) = \frac{2 \cdot V}{b \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}} \cdot (b + \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}) + b \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{V}{b}}

A (b) = \sqrt{2 \cdot V \cdot b} + 2 \cdot \frac{V}{b} + \sqrt{2 \cdot V \cdot b}

A (b) = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot V \cdot b} + 2 \cdot \frac{V}{b}

A' (b) = \frac{\sqrt{2 \cdot V}}{\sqrt{b}} - \frac{2 \cdot V}{b^{2}}

jetzt Minimum suchen:

\frac{\sqrt{2 \cdot V}}{\sqrt{b}} - \frac{2 \cdot V}{b^{2}} = 0

\sqrt{2 \cdot V} \cdot b^{\frac{3}{2}} = (2 \cdot V)

b^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2 \cdot V}

b^{3} = 2 \cdot V

b = \sqrt[3]{2 \cdot V}

mit

l = \sqrt{\frac{2 \cdot V}{b}}

erhälst du:

l = \frac{{(2 \cdot V)}^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} = \frac{{(2 \cdot V)}^{\frac{1}{2}}}{{({(2 \cdot V)}^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}} = {(2 \cdot V)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2 \cdot V}

und somit

h = \frac{V}{l \cdot b} = \frac{V}{\sqrt[3]{2 \cdot V} \cdot \sqrt[3]{2 \cdot V}} = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}

...als Ergebnis erhälst du also eine quadratische Fläche und eine Höhe, welche halb so hoch wie die Seitenlängen sind.

;-)

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