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Extremwertaufgabe

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Halbkugel/Zylinder

bunny-mathe1 aktiv_icon

00:22 Uhr, 26.02.2011

hallo!

Körper Form von dreh-Zylinder mit aufgesetzten Halbkugel
Fasst ein

\frac{1}{8} l

Oberfläche (damit materialverbrauch) minimal wird

\to h, r

ausrechnen

meine ansätze:
Oberfläche eines Zylinders ist

O = 1 r^{2} \cdot π + 2 r \cdot π \cdot h \to

einmal oben fällt weg da eine Halbkugel dran ist
Oberfläche einer Halbkugel

O = 3 \cdot π \cdot r^{2}

Hauptbedingung:

O = 4 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot π \cdot h \to min

Nebenbedingung:
Volumen Zylinder:

V = r^{2} \cdot π \cdot h

Volumen Halbkegel:

V = \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot π

0,000125 = r^{2} \cdot π \cdot h + \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot π

0,000375 = 3 \cdot r^{2} \cdot π \cdot h + 2 \cdot r^{3} \cdot π

stimmt das was ich hier tuhe?
muss ich jetzt in NB

h

oder

r

ausdrücken und dass in die HB einsetzten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

00:28 Uhr, 26.02.2011

Deine Formeln passen nicht ganz. Überprüfe vor allem auch die Oberfläche der Halbkugel.

Frage: Ist die Halbkugel an beiden Enden des Zylinders aufgesetzt oder nur an einem Ende? Davon hängt ab ob Du nur eines

(!)

oder gar keins der flachen Teile der Zylinderdose ins Kalkül ziehen musst.

bunny-mathe1 aktiv_icon

00:34 Uhr, 26.02.2011

Ja stimmt von der Halbkugel muss ja die Grundfläche weg, da diese Oberfläche ja nicht beim Körper einberechnet wird. also

O

von Halbkugel

= 2 r^{2} \cdot π

Hauptbedingung:

O = 3 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot π \cdot h \to min

In Angabe steht, dass es sich um eine Hängevase handelt die die Form von einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel hat.

DmitriJakov aktiv_icon

00:50 Uhr, 26.02.2011

Also zunächst einmal ist die Oberfläche eines Zylinders

2 \cdot r \cdot π \cdot h

plus Boden und Deckel.

Nun handelt es sich aber um eine Vase, also gibt es schonmal keinen Deckel. Und der Boden ist eine Halbkugel. Also bleibt es für den zylindrischen Teil der Vase bei

2 \cdot r \cdot π \cdot h

Die Oberfläche einer Kugel ist

4 \cdot π \cdot r^{2}

und der einer Halbkugel dementsprechend

2 \cdot π \cdot r^{2}

.

Somit ist überraschenderweise die Oberfläche dieser Vase genauso groß wie die einer zylindrischen Dose, nämlich

A = 2 r^{2} π + 2 r π h

Das ist die Zielfunktion. Die Nebenbedingung ist das Volumen. Das Volumen setzt sich zusammen aus einem halben Kugelvolumen:

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} r^{3} π

plus dem Zylindervolumen

r^{2} π h

. Sind alle Maße in cm, dann gilt:

V = 125 = \frac{2}{3} r^{3} π + r^{2} π h

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:30 Uhr, 26.02.2011

ah okay habs verstanden.
jetztt muss ich ja auf

h

umfomen.

\frac{125 - \frac{2}{3} r^{3} \cdot π}{r^{2} \cdot π} = h

\frac{125}{r^{2} \cdot π} - \frac{2 r^{3} \cdot π}{3 r^{2} \cdot π} = h

\frac{125 r^{- 2}}{π} - \frac{2 r}{3} = h

DmitriJakov aktiv_icon

15:35 Uhr, 26.02.2011

Richtig, und das jetzt in die Zielfunktion einsetzen und nach

r

ableiten. Diese Ableitung Null setzen und

r

ausrechnen.

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15:46 Uhr, 26.02.2011

O (r) = 750 r^{- 1} + 2 r^{2} \cdot π

weißt du wie man

r^{- 1}

ableitet?

DmitriJakov aktiv_icon

15:55 Uhr, 26.02.2011

Du hast (unzulässigerweise) mit 3 multipliziert. Du hast also:

3 \cdot O (r) = 750 r^{- 1} + 2 r^{2} π

Das machen wir mal wieder rückgängig:

O (r) = 250 r^{- 1} + \frac{2}{3} r^{2} π

1. Ableitung:

f (r) = r^{n} \to f' (r) = n \cdot r^{n - 1}

So, und jetzt Du. Bilde die erste Ableitung von

O (r)

bunny-mathe1 aktiv_icon

16:05 Uhr, 26.02.2011

ah okey
1.ABL

o (r) = 250 + \frac{5}{3} \cdot r \cdot π

250 + \frac{5}{3} \cdot r \cdot π = 0

- \frac{150}{π} = r

DmitriJakov aktiv_icon

16:10 Uhr, 26.02.2011

Das

r^{- 1}

macht Dich fertig, stimmts? :-D)

O' (r) = 250 \cdot (- 1) \cdot r^{- 1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot r^{2 - 1} \cdot π

O' (r) = - 250 \cdot r^{- 2} + \frac{4}{3} r \cdot π

So, und das nun gleich Null setzen.

bunny-mathe1 aktiv_icon

16:33 Uhr, 26.02.2011

ja hahaha^^

danke
hab das ergebnis

3,908!

Frage: Warum ist das Ergebnis so bemerkenswert? Warum ist nicht die minimale Oberfläche von größter Bedeutung für Dimension der Vase?

VIelen dank...tausend Rosen!

DmitriJakov aktiv_icon

16:38 Uhr, 26.02.2011

Danke für die Blumen, aber Du bist nicht fertig. Du hast bis jetzt nur den Radius. Die Höhe des Zylinders hast Du noch nicht, und damit auch nicht die Gemeinheit dieser Aufgabe :-D)

Vielleicht ist Dir ja beim Null setzen etwas aufgefallen:

- \frac{250}{r^{2}} + \frac{4}{3} r π = 0 | + \frac{250}{r^{2}}

\frac{4}{3} r π = \frac{250}{r^{2}} | \cdot r^{2}

\frac{4}{3} r^{3} π = 250

Kommt Dir da irgendetwas bekannt vor? Und falls nicht, dann mach einfach weiter und rechne

h

aus.

bunny-mathe1 aktiv_icon

16:45 Uhr, 26.02.2011

Höhes des Zylinders
Die gemeinheit der aufgabe=? kann man

r

nicht einfach in NB einsetzen?
Huch da kommt 0 raus

... .

i d t

die schale vielleicht nur rund?

DmitriJakov aktiv_icon

16:52 Uhr, 26.02.2011

Dir fällt es also nicht auf. Naja, dann musst Du den dornigen Weg nun beschreiten :-D)

r^{3} = \frac{3}{4 π} \cdot 250 = \frac{3}{4 π} \cdot 2 \cdot 125

r =^{3} \sqrt{\frac{3}{2} π} \cdot 5

Das setzt Du jetzt ein in:

h = \frac{125}{r^{2} \cdot π} - \frac{2}{3} r

Viel Vergnügen :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

16:57 Uhr, 26.02.2011

Ah, während ich getippt habe hast Du es entdeckt und Deine Antwort editiert.

Ja, das oberflächenoptimale Gefäß für ein bestimmtes Volumen ist stets die Kugel. Bzw. hier die Halbkugel, weil laut der Angabe keine Vollkugel entstehen darf, sondern es bei einer Halbkugel bleiben muss.

bunny-mathe1 aktiv_icon

17:03 Uhr, 26.02.2011

also das darf man so als antwort hinschreiben? oder muss man da noch was beweißen=?

DmitriJakov aktiv_icon

17:21 Uhr, 26.02.2011

Der "Beweis" steht eigentlich dort, wo Du die Ableitung der Oberfläche gleich Null gesetzt hattest:

\frac{4}{3} r^{3} π = 250

\frac{4}{3} r^{3} π

ist die Formel für das Volumen der Vollkugel. Die Halbkugel hat also:

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} r^{3} π = 125

Die halbe Kugel fasst also bereits das gesamte in der Angabe vorgegebene Volumen von

\frac{1}{8}

liter. Deswegen braucht kein Zylinder mehr in diesem optimierten Gefäß aufgesetzt sein. Seine Höhe ist deswegen also Null.

bunny-mathe1 aktiv_icon

17:29 Uhr, 26.02.2011

danke

=)

Ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll! vielen vielen vielen dank

LG

DmitriJakov aktiv_icon

17:32 Uhr, 26.02.2011

Freut mich auch, dass Du gerade diese Frage so schön gründlich mitgemacht hast. Dieser Zusammenhang, den Du Dir hier gerade erarbeitet hast, der kommt überall vor, im Ingenieurwesen, in der Biologie, in der Physik

(z . B

. dem Wassertropfen) etc.

Diese Erkenntnis ist eminent wichtig in fast allen Gebieten der Wissenschaft :-D)

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