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Extremwertaufgabe

Schüler

Tags: Extremwertaufgabe

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13:13 Uhr, 10.12.2011

Hallo

Eine zylinderförmige Dose soll 75cm^3 fassen.bei welchen abmessungen ist die herstellung am billigsten wenn das material für boden und deckel pro cm^3 um

25 %

teurer ist als für den mantel?

Hauptbedingung?

Herstellung am billigsten? Wir hatten son beispiel nie gerechnet, deshalb steh ich da schon mal an.

normalerweise doch oberfläche? bzw eben A

A = 2 \cdot r^{2} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h

Minimal..aber nicht in der oberfläche grundsätzlich sondern im preis?

Wie stell ich da die Nebenbedingung auf, und ist die Hauptbedingung so denn richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

13:23 Uhr, 10.12.2011

Du musst nun die Kosten minimieren, und nicht mehr allein die Fläche. Also wird Deine Zielfunktion einen Parameter enthalten, nämlich den Preis

p

p

sei der Preis pro

c m^{2}

Blech, aus dem der Mantel hergestellt wird. Der Preis pro

c m^{2}

für Deckel und Boden ist dann dementsprechend

p \cdot 1,25

Der Mantel kostet:

2 r π \cdot p

Der Deckel dun der Boden kosten:

r^{2} \cdot π \cdot p \cdot 1,25

.

Zu minimieren ist nun also die Schar der Kostenfunktion

K_{p} (r; h)

K_{p} (r; h) = 2 r π p + r^{2} π p \cdot 1,25

unter der Nebenbedingung:

r^{2} π \cdot h = 75

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13:29 Uhr, 10.12.2011

da fehlt aber eine 2 oder, weil deckel und boden?

also der 2te teil

2 \cdot r \cdot π \cdot p + 2 \cdot r^{2} \cdot π \cdot p \cdot 1,25

oder?

und da

h

fehlt oben auch

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13:35 Uhr, 10.12.2011

Ich würde die Haupbedingunge dann so einsetzen:

Kp(r,h)=

2 \cdot r \cdot π \cdot \frac{V}{r^{2} \cdot π} \cdot p + 2 \cdot r^{2} \cdot π \cdot p \cdot 1.25

Hier habe ich

h

einfach aus der nebenbedingung umfgeformt. Nur habe ich mit

p

ne 2te variable neben

r

oder?

oder ist

p

einfach 1? weil der mantel ja praktisch 1 kostet, und der deckel zb

1 + 0.25

DmitriJakov aktiv_icon

13:35 Uhr, 10.12.2011

Du hast mich erwischt

. .

. und das war jetzt nicht mein einziger Fehler

. .

. hatte auch das

h

vergessen

: (

Also nochmal:

K_{p} (r; h) = 2 r π \cdot h \cdot p + 2 \cdot r^{2} π \cdot p \cdot 1,25

Sowas passiert, wenn man unkonzentriert arbeitet

. .

. sorry dafür.

DmitriJakov aktiv_icon

13:39 Uhr, 10.12.2011

Ja, so hast Du es jetzt richtig.

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13:54 Uhr, 10.12.2011

nur bekomm ich dann murks raus:

Kp(r,h)=

2 \cdot r \cdot π \cdot \frac{V}{r^{2} \cdot π} \cdot p + 2 \cdot r^{2} \cdot π \cdot p \cdot 1.25

ausgerechnet ergibt das

\frac{2 \cdot V}{r} + 2 \cdot r^{2} \cdot π \cdot 1.25

weiter

\frac{2 \cdot V}{r} + 2.5 \cdot r^{2} \cdot π

darf ich das so ausrechnen?

erste ableitung auf 0

\frac{2 \cdot V}{r^{2}} + 5 \cdot r \cdot π = 0

auf

r

umgeformt:

r = \sqrt[3]{2 \cdot 75 + 5 \cdot π}

da kommt aber ca

5,5

raus, was für

r

falsch ist laut lösung wo liegt da der fehler?

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13:57 Uhr, 10.12.2011

habs

fehler beim umformen!!!! in der wurzel gehört durch

5 \cdot π

DmitriJakov aktiv_icon

14:04 Uhr, 10.12.2011

Das

p

ist bei Dir verschwunden. Das darfst Du nicht einfach unter den Tisch fallen lassen:

K_{p} (r; h) = \frac{2 \cdot V}{r} \cdot p + 2 r^{2} π p \cdot 1,25

Dann hast Du noch einen VZ Fehler bei der Ableitung:

K_{p}' (r) = - \frac{2 \cdot 75}{r^{2}} \cdot p + 5 r π p = 0

- 150 p + 5 r^{3} \cdot π \cdot p = 0

r^{3} = \frac{30}{π}

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14:07 Uhr, 10.12.2011

Warum? ich bekomme das selbe raus, und

p

kann man doch wegkürzen

es steht ja nur dafür , dass das eine

25

prozent teurer ist.

also ist

p

wie ne 1

auch wenns ne 3 wäre, kann ich sie auf beiden seiten der summe wegkürzen?

ich komme auch aufs richtige ergebnis

DmitriJakov aktiv_icon

14:56 Uhr, 10.12.2011

Das ist jetzt nur Zufall, dass Du auf das richtige Ergebnis gekommen bist. Du kannst

p

ausklammern und nach dem Satz vom Nullprodukt dann darstellen, dass die Ableitung Null wird, wenn entweder

p = 0

oder wenn

\frac{2 V}{r^{2}} + 5 r π = 0

Es gibt Mathelehrer, die Dir für Deine kurzen Weg nicht alle Punkte geben, obwohl Du auf das richtige Ergebnis gekommen bist.

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