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Extremwertaufgabe

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Oshiguru aktiv_icon

19:08 Uhr, 15.09.2012

Aufgabe: Ein Stück Draht wird in zwei Teile zerschnitten. Aus dem einen wird ein Quadrat, aus dem anderen ein Kreis geformt. Wie muss man schneiden, damit die Summer der Flächeninhalte der beiden Figuren

a)

minimal

b)

maximal

wird?

Die Aufgabe habe ich grösstenteils gelöst. Jedoch bereitet mir die zweite Frage

(b)

Schwierigkeiten.

l

sei die Länge des Drahts und

x, y

die Längen der Teile. Somit:

l = x + y

F_{Q} = {(\frac{x}{4})}^{2} = \frac{x^{2}}{16}

F_{K} = (\frac{y^{2}}{2 π}) \cdot π = \frac{y^{2}}{4 π}

Die Funktion lautet somit:

F (x) = \frac{x^{2}}{16} + \frac{{(l - x)}^{2}}{4 π}

F' (x) = \frac{1}{8} x - \frac{1}{2 π} (l - x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{8 π} ((π + 4) x - 4 l) = 0 \Rightarrow \frac{4 l}{x + π} \Rightarrow

absolutes Minimum

F (\frac{4 l}{x + π}) = \frac{l^{2}}{4 (π + 4)}

So weit, so gut. Nun soll es aber noch (laut Lösung) ein absolutes Maximum geben und zwar in

x_{m a x} = 0, y_{m a x} = l

. Ich komme aber nicht auf diese Lösung, da ich für

F' (x) = 0

keine andere Lösung sehe als

\frac{4 l}{x + π}

.

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

19:46 Uhr, 15.09.2012

Der Hintergrund ist der eingeschränkte Definitionsbereich der Funktion.

Der Umfang der Körper darf nicht kleiner als Null sein, denn wie gross wäre denn die Fläche eines Kreises mit einem negativen Umfang?

Infolgedessen ist auch der maximale Umfang auf die Länge l begrenzt. Denn wenn eine begrenzte Menge Draht da ist, um einen Körper zu biegen, dann kann der Umfang nicht länger sein, als der zur Verfügung stehende Draht.

Die Funktion ist also nur für x definiert, die zwischen 0 und l liegen.

Oshiguru aktiv_icon

20:16 Uhr, 15.09.2012

Ich verstehe es.

D = [0; l]

l = x + y

Falls

x = 0

ist

y = l

.
Umgekehrt ist

x = l

falls

y = 0

.

Danke!

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