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Extremwertaufgabe

Schüler

Tags: Kosten

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12:17 Uhr, 27.02.2013

Wer hilft mir?
Folgende Aufgabe hätte ich zu lösen.
Eine Stromleitung wird von einer Transformatorstation 800 m längs einer geraden Straße geführt und dann quer dazu 380 m durchs Gelände bis zu einem Hof. In welcher Entfernung von der Station hätte man von der Straße abzweigen müssen, um die Verlegungskosten zu minimieren, wenn die Kosten im Gelände dreimal so hoch sind wie längs der Straße?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

12:27 Uhr, 27.02.2013

Kostenfunktion aufstellen, denn diese willst du ja minimieren.

Sei

s_{S}

der Weg entlang der Straße, und

s_{G}

der Weg durchs Gelände so ergibt sich:

K = 1 \cdot s_{S} + 3 \cdot s_{G}

Nun ergibt sich ja

s_{G}

aus

s_{S}

(dies ist die Nebenbedingung)

Über Pythagoras erhälst du:

s_{G} = \sqrt{380^{2} + {(800 - s_{S})}^{2}}

Diese NB kannst du in die HB einsetzen:

K = 1 \cdot s_{S} + 3 \cdot s_{G}

K = 1 \cdot s_{S} + 3 \cdot \sqrt{380^{2} + {(800 - s_{S})}^{2}}

Nun finde den Exremwert!

;-)

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12:32 Uhr, 27.02.2013

Sind die Kosten für die Straße 800x + 380x= 1180x

K = 1180x + 3*Wurzel aus ((380^2 - ((800- (800x - 380x))^2

Eva88 aktiv_icon

12:53 Uhr, 27.02.2013

K (x) = (800 - x) + 3 \cdot \sqrt{x^{2} + 380^{2}}

Edddi aktiv_icon

14:02 Uhr, 27.02.2013

. .

. um Visconik nicht zu verwirren, sei erwähnt, dass:

s_{S} = (800 - x)

und somit

3 \cdot \sqrt{x^{2} + 380^{2}} = 3 \cdot \sqrt{{(800 - s_{S})}^{2} + 380^{2}}

. .

. es gibt eben immer mehrere Lösungsansätze.

;-)

Edddi aktiv_icon

14:06 Uhr, 27.02.2013

. .

. zu Viscink:

Du musst die Kostenfunktion nun ableiten und die Ableitung nullsetzen.

Dann erhälst du die Extremstelle

(\in

disem Fall ein Minimum)

Die Antwort auf die Aufgabenstellung, nach welcher Entfernung von der Straße hätte abgezweigt werden müssen liefern dir dann die Ergebnisse

s_{S M i n}

bzw.

800 - x_{m i n}

;-)

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14:11 Uhr, 27.02.2013

Könnt ihr mir noch einen Schritt weiterhelfen?

Edddi aktiv_icon

14:13 Uhr, 27.02.2013

. .

. leite doch erstmal eine der beiden Kostenfunktionen ab.

Meine nach

s_{S}

oder Eva's nach

x

.

Kannst du das?

;-)

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14:18 Uhr, 27.02.2013

Habe ich schon einige Male versucht:
z. B. so:
0 = -1 - 3/(2*Wurzel aus (2x + 380^2))
Ich sehe schon, da stimmt die Ableitung nicht!

Eva88 aktiv_icon

14:30 Uhr, 27.02.2013

Ableitung ist falsch. Versuche mal so zu schreiben, dass es etwas leserlicher wird.

\sqrt{x}

Schreibweise "sqrt(x)"

erst die 3 mit in die Wurzel nehmen, bevor du ableitest. Ansonsten musst du die Produktregel verwenden.

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14:38 Uhr, 27.02.2013

K(x) = 800 - x + sqrt((9*(x^2 + 380^2))
K'(x) = -1 +1/2*(9x^2 + 380^2*9)^(-1/2)

Eva88 aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.02.2013

Mach doch erst mal

800 - x + 3 \cdot \sqrt{x^{2} + 380^{2}}

800 - x + \sqrt{9 x^{2} + 9 \cdot 380^{2}}

Ableitung der Wurzel innere Ableitung

\cdot

äußere Ableitung

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14:47 Uhr, 27.02.2013

Vielleicht so:
-1 + 18x*1/(2*sqrt(9x^2+9*380^2))

Eva88 aktiv_icon

14:51 Uhr, 27.02.2013

wenn du

0 = - 1 + \frac{18 x}{2 \cdot \sqrt{9 x^{2} + 9 \cdot 3800^{2}}}

meinst, dann ja.

jetzt nach

x

auflösen.

Visocnik aktiv_icon

14:55 Uhr, 27.02.2013

Ihr Lieben!
Herzlichen Dank euch beiden für die umfangreiche und geduldige Hilfestellung. Habe immer die innere Ableitung vergessen!
Ich habe diese Aufgabe schon einmal in onlinemathe eingegeben. Kann ich diese Aufgabe dort nochmals aufspüren? Wie finde ich diese in onlinemathe?

Visocnik aktiv_icon

15:28 Uhr, 27.02.2013

Nochmals herzlichen Dank, ihr beiden!

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